ИСТИНА

Проект ставит целью решение нескольких актуальных задач для дифференциальных и общих операторов, которые тесно связаны между собой и в совокупности представляет цельное, масштабное исследование. Основной блок исследований связан с новыми задачами для обыкновенных дифференциальных уравнений и операторов. Одна из глобальных целей – построение асимптотической теории для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и асимптотической теории скалярных уравнений высших порядков с коэффициентами-распределениями. Асимптотическая теория ОДУ имеет более чем 150-летнюю историю и остается незаменимым инструментом в спектральной теории, связанной с ОДУ и теорией краевых задач. Это объясняет актуальность любых новых результатов в этой теории. В процессе работы по гранту 2020 года новыми методами получены новые результаты, которые начинают менять лицо этой теории. Мы работам по двум направлениям в асимптотической теории . Первое глобальное направление – это асимптотики по спектральному параметру, при больших его значениях. Найдены фундаментальные матрицы решений cистем вида $y’ + B(x) y = A\lambda y$ , имеющие специальные асимптотические представления в определенных секторах комплексной $\lambda$-плоскости только при условии интегрируемости функций, составляющих матрицу $B$. (ранее нужные асимптотики были получены при дополнительных условиях гладкости функций $B$). Для систем второго порядка получены $n$ членов асимптотического разложения при минимальных условиях на гладкость коэффициентов. Естественная и важная задача --- получить многочленные асимптотические представления для систем произвольного порядка, а затем для скалярных уравнений высших порядков с коэффициентами-распределениями. Есть и вторая важная задача, к которой ранее не было подходов. Научиться получать асимптотики для случая, когда $A$ является матриц-функцией (всегда предполагалось, что $A$ постоянна и имеет различные собственные значения). В 2021 году мы рассмотрели первый специальный случай непостоянной матрицы $A$ . В этой заявке мы планируем рассмотреть и другие случаи и связать их с изучением уравнений с частными производными (гиперболическими и эллиптическими). Это новое направление, мы предполагаем, что оно окажется широким. Второе направление в асимптотической теории --- находить асимптотические представления решений ОДУ, заданных на оси или полуоси при стремлении переменной $x$ к бесконечности. Мы получили результаты в этом направлении для двучленных ОДУ и двух типов модельных невозмущенных уравнений. В этой заявке мы предполагаем развитие результатов для более общих случаев. Помимо развития асимптотической теории проект предполагает решение отдельных актуальных задач по теории прямых и обратных задач для дифференциальных операторов. Отдельное место занимают два широких направления. Первое --- изучение оператора Шредингера с комплексным потенциалом. Эта тема модная (точнее актуальная) на Западе и мы получили и надеемся получить по этой теме принципиальные результаты, в частности, условия дискретности спектра таких операторов и условия полноты их собственных функций. Второе широкое направление --- изучение спектральных свойств сингулярных струн (теория берет начало от работ М.Крейна) и решение задач о нахождении точных констант в теоремах вложения пространств Соболева (точных констант в неравенствах типа Маркова-Колмогорова-Фридрихса). Здесь обнаруживаются новые красивые связи спектральной теории и теории специальных функций.

The project aims to solve several urgent problems for differential and general operators, which are closely related to each other and together represent a whole, large-scale study. The main block of research is related to new problems for ordinary differential equations and operators. One of the global goals is to build an asymptotic theory for systems of ordinary differential equations (ODE) and an asymptotic theory of higher–order scalar equations with coefficients-distributions. The asymptotic theory of ODE has more than 150 years of history and remains an indispensable tool in spectral theory related to ODE and the theory of boundary value problems. This explains the relevance of any new results in this theory. In the process of working on the 2020 grant, new methods have obtained new results that are beginning to change the face of this theory. We are working in two directions in asymptotic theory. The first global direction is the asymptotics of the spectral parameter, with its large values. Fundamental decision matrices are found systems of the form $y’ + B(x) y = A\lambda y$, having special asymptotic representations in certain sectors of the complex $\lambda$-plane only under the condition of integrability of the functions that make up the matrix $B$. (previously, the necessary asymptotics were obtained under additional smoothness conditions of the $B$ functions) For second-order systems, $n$ terms of the asymptotic expansion are obtained under minimal conditions for the smoothness of the coefficients. A natural and important task is to obtain polynomial asymptotic representations for systems of arbitrary order, and then for higher-order scalar equations with coefficients-distributions. There is also a second important task, to which there were no approaches before. Learn how to obtain asymptotics for the case when $A$ is a matrix function (it has always been assumed that $A$ is constant and has different eigenvalues). In 2021, we considered the first special case of a non-constant matrix $A$. In this application, we plan to consider other cases and link them to the study of partial differential equations (hyperbolic and elliptic). This is a new direction, we assume that it will be broad. The second direction in asymptotic theory is to find asymptotic representations of solutions of ODES given on an axis or semi-axis when the variable $x$ tends to infinity. We have obtained results in this direction for binomial ODE and two types of model unperturbed equations. In this application, we assume the development of the results for more general cases. In addition to the development of asymptotic theory, the project assumes the solution of certain topical problems in the theory of direct and inverse problems for differential operators. Two broad directions occupy a separate place. The first is the study of the Schrodinger operator with a complex potential. This topic is fashionable (or rather relevant) in the West and we have received and hope to receive fundamental results on this topic, in particular, the conditions for the discreteness of the spectrum of such operators and the conditions for the completeness of their own functions. The second broad direction is the study of the spectral properties of singular strings (the theory originates from the works of M. Krein) solving problems of finding exact constants in embedding theorems of Sobolev spaces (exact constants in Markov-Kolmogorov-Friedrichs type inequalities). Here new beautiful connections of spectral theory and the theory of special functions are discovered.

Здесь мы скажем только о наиболее принципиальных ожидаемых результатов проекта. 1) К их числу относятся результаты о существовании асимптотических разложений по большому спектральному параметру для систем вида $y’ + B(x) y = A(x) \lambda y$. Здесь $A$ и $B$ матриц-функции, а $\lambda$ --- спектральный параметр. Будут рассмотрены несколько случаев. Первый --- $A$ есть постоянная матрица с различными собственными значениями. В этом случае мы докажем, что комплексную $\lambda$-плоскость можно разбить на секторы, покрывающую всю плоскость, в каждом из которых существует фундаментальная матрица решений системы $Y$, имеющая при больших значениях $\lambda$ асимптотическое разложение по степеням $\lambda$ c $n+1$ c членами вида $R_k(x) \lambda^{-k, k=0,1,\dots, n+1}$, причем предъявляются явные формулы для матриц $R_k$. (задача о предъявлении явных формул для таких матриц ранее считалась технически не разрешимой (что отмечал М.А.Наймарк) и не исследовалась. Условием минимальной гладкости коэффициентов матрицы $B$ для существования таких разложений является принадлежность функций этой матрицы пространству Соболева $W^n_1$. В случае $n=0$ получаем только главный член асимптотики (этот случай уже был исследован Савчуком и Шкаликовым в рамках гранта 2020 года, а при $n>0$ Косаревым и Шкаликовым, но только для систем второго порядка). Существование таких асимптотических разложений позволит нам определить класс почти регулярных краевых задач и предпринять изучение их спектральных свойств. Более сложная ситуация, --- если $A$ непостоянная матрица. На первом этапе изучения мы выделим в этой ситуации два случая, соответственно, гиперболических и эллиптических систем. Они связаны с изучением гиперболических и эллиптических уравнений, которые после преобразования Фурье (отделения переменных) можно свести к системам указанного вида. В этом случае мы получим аналогичные асимптотические разложения, выделим классы регулярных и почти регулярных задач и предпримем их изучение. Мы обращаем внимание, что такие исследования (с непостоянной матрицей $A$) ранее не проводились вовсе. Нетрудно понять, сколь серьезно предстоящие исследования расширяют круг задач. Этим объясняется новизна и актуальность исследований. 2) Другой блок исследований по асимптотической теории связан с исследованием поведения решений ОДУ на оси или полуоси, когда переменная $x$ стремится к бесконечности. Мы рассмотрим два вида модельных уравнений. Первое уравнение --- $y^{(n)}(x) + \lambda y(x) =0$, второе – уравнение Эйлера. Задача состоит в следующем: каким образом можно возмутить эти уравнения младшими членами с коэффициентами-распределениями, чтобы асимптотики модельных уравнений и возмущенных были одинаковы. Такая постановка задач также новая, она была предпринята членами коллектива в заявке 2020 года, но исследовалась эта задача только в частных случаях (например, когда возмущение допускается только членами без производных). В этой заявке мы предполагаем исследовать общий случай. 3) Мы продолжим исследования по теме о нахождении точных констант в неравенствах типа Маркова-Колмогорова-Фридрихса. Планируется получить оценки значений старших производных в точке a\in(0;1) в пространстве Соболева W^n_\infty[0;1] через норму функции в W^{n-1}_\infty[0;1] и через норму функции в L_\infty[0;1]. Рассматриваются пространства Соболева с краевыми условиями условиями Дирихле. Мы получим явные формулы для констант вложения пространств Соболева W^n_inf[0;1] в пространства W^{n-1}_inf[0;1] и L_inf[0;1]. Результаты по этой теме вносят вклад не только в общую теорию вложений в пространства Соболева. Результаты дают развитие новым методам в качественной теории дифференциальных уравнений (участники проекта уже получили обобщения теоремы Сонина--Пойа о поведении точек экстремума решений специального класса дифференциальных уравнений), а также привлекают и развивают мощный аналитический аппарат, основанный на специальных функциях (в частности используются гипергеометрические функции разных типов). 4) Будет получено полное описание спектра для задачи колебания обобщенной сингулярной струны в том случае, когда масса струны описывается самоподобной (фрактальной) функцией, обобщенная производная которой задает некомпактный мультипликатор в пространство Соболева с отрицательным показателем гладкости. Исследования в данном направлении обнаружили интересные связи спектральных задач для сингулярной струны с весами-некомпактными мультипликаторами и со спектральными задачами для класса периодических матриц Якоби. 5) Будут получены условия достаточные (и близкие к необходимым) для дискретности спектра и компактности резольвенты несекториального оператора Шредингера на оси и полуоси.. Ранее в литературе исследовался случай операторов с потенциалами, принимающими значения в полуплоскости (за исключением одного частного случая, недавно рассмотренным Х.Ишкиным), что порождает секториальные операторы Шредингера. Во всех работах на эту тему от потенциала требуются жесткие условия, обеспечивающие существование ВКБ асимптотик. В наших исследованиях требования будут сведены к минимальным. . 6) . Будут предложены 2 разных метода исследования спектральных свойств дифференциальных операторов с инволюцией первого порядка с переменной главной частью.. Будут найдены примеры нерегулярных операторов, которые не являются спектральными по Данфорду. Будет выделен класс регулярных операторов второго порядка и будет доказана теорема о безусловной базисности собственных функций таких операторов. Ранее исследований для операторов с инволюцией с переменной главной частью не проводилось. Оба предлагаемых метода для этого случая будут новыми. 7) Будут рассмотрены краевые задачи с линейным вхождением спектрального параметра в краевые условия. Этим задачам будут поставлены в соответствие линейные операторы в различных пространствах. Будут построены сопряженные к ним краевые задачи и соответствующие сопряженные операторы. Отдельно будут рассмотрены 2 случая: а) случай линейной независимости коэффициентов линейных форм при степени спектрального параметра $\lambda$ и б) случай их линейной зависимости. Будет доказан результат о неминимальности системы собственных функций в исходном пространстве и указано правило отбора «правильных» собственных функций для получения минимальных систем. Эти исследования прояснят общую картину по этой теме. Ранее для оператора Штурма-Лиувилля со специальными краевыми условиями и специальными потенциалами результаты такого типа были получены академиком Е.И.Мосеевым и Н.Капустиным. 8) Будет изучен вопрос об индексе неустойчивости в задачах механики при наличии гироскопических сил. Будет получено существенное обобщение теоремы академика В.В.Козлова и А.Карапетянца об оценке индекса неустойчивости соответствующих задач. Это обобщение будет касаться не только перехода от конечномерного случая к бесконечномерному, но и более слабых условий на операторы в рассматриваемых задачах. 9) Для приложений теории мультипликаторов в теории операторов с частными производными важен вопрос об описании множества обобщенных функций, для которых определено умножение на функции в пространствах бесселевых потенциалов , причем такое умножение определяет ограниченный оператор из $H_2^s(\Omega)$ в дуальное пространство $H_2^{-s}(\Omega)$ (с отрицательным показателем гладкости). . В качестве области $Omega$, в частности, могут выступать все $d$-мерное пространство $\mathbb R^d$ или $d$-мерный тор $\mathbb T^d$. Задача об описании такого множества функций (мультипликаторов) в общем случае очень трудная, но мы получаем ее полное решение в случае $s> d/2$. 10) Будет подготовлена к печати статья, в которой будет рассмотрена следующая обратная задача: для произвольного, заданного наперед замкнутого множества на вещественной оси построить потенциал, для которого соответствующий оператор Шредингера имеет существенный спектр, совпадающий с этим множеством. Конструкция такого потенциала будет предъявлена явно. 11) Будет рассмотрена задача восстановления компактного потенциала рассеяния в многомерном уравнении Шредингера по дифференциальному сечению рассеяния (модулю амплитуды рассеяния) при фиксированной энергии. В борновском приближении эта задача сводится к задаче восстановления функции по модулю ее преобразования Фурье. Чтобы компенсировать недостающую информацию, будет использован метод априори известного опорного потенциала. Эта задача была исследована в рамках прошлого гранта В.Н.Сивкиным совместно с Р.Г.Новиковым и сдана в печать в журнал “Inverse problems”. Недавно был опубликован препринт этой работы. В 2023 году самостоятельно В.Н.Сивкиным будет получен новый результат по этой задаче, а именно, будет доказана липшицева устойчивость в этой задаче.

Участники проекта имеют большой опыт работы по тематике проекта, подтвержденный публикациями в авторитетных российских и международных журналах, участием в международных конференциях , в том числе и в качестве приглашенных пленарных докладчиков. Участники проекта имеют принципиальные, пионерские результаты в таких областях математики, как теория дифференциальных операторов с коэффициентами-распределениями, теории мультипликаторов в пространствах типа Соболева с негативными индексами гладкости, теории квазиклассических приближений для несамосопряженных задач, общей теории несамосопряженных операторов. Это подтверждается высокими индексами цитирования соответствующих работ. Из 10 участников проекта 6 молодых специалистов (2 студента 6-го курса и 4 аспиранта) возраста 22-26 лет. Несмотря на молодой возраст, все аспиранты имеют уже печатные работы (и не по одной) в авторитетных журналах, а оба студента имеют подготовленные к печати статьи, которые будут опубликованы в 2023 году. Преобладание молодых талантливых специалистов в составе коллектива является большим его достоинством.

Итоговые результаты связаны с получением новых научных результатов, публикацией этих результатов в центральных математических журналах, освещением полученных результатов на международных конференциях. План первого этапа НИР 1. Подготовить и сдать в печать статью «Асимптотические представления решений $2\times2$ систем обыкновенных дифференциальных равнений с минимальными условиями на гладкость коэффициентов» . Препринт по этой статье уже имеется, но статья важная , технически сложная и предстоит нелегкая работа по полировке и представлению изложения в удобном для читателя форме. Ответственные А.А.Шкаликов, А.П.Косарев 2. Подготовить и сдать в печать статью «Спектральные свойства дифференциальных операторов с инволюцией с переменными коэффициентами в главной части». Отвественные А.А.Шкаликов, Я.А.Гранильщикова 3. Подготовить и сдать в печать статью «Отбор полных и минимальных систем собственных функций краевых задач со спектральным параметром в граничных условиях». Ответственные А.А.Шкаликов , В.С.Кобенко 4. Подготовить и сдать в печать статью «Квадратичные пучки операторов. Об индексе неустойчивости ». Отв. А.А.Шкаликов (работа будет выполняться совместно со студентом В.Аракчеевым). 5. Подготовить и сдать в печать статью «Мультипликаторы в пространствах бесселевых потенциалов на торе с негативным индексом гладкости» . Препринт по этой статье уже имеется, но статья технически сложная и предстоит нелегкая работа по полировке и представлении изложения в удобном для читателя форме. Кроме того необходимо написать добавление о том, сколь важны полученные результаты в теории уравнений в частных производных (чтобы дать корректное определение дифференциальных операторов с коэффициентами-распределениями). Ответственные А.А.Шкаликов (работа будет проводиться совместно с А.А.Беляевым) 6. Изучить спектральные свойства задачи для сингулярной струны с весом, задаваемым самоподобной функцией, обобщенная производная которой определяет некомпактный мультипликатор в пространстве Соболева с отрицательным показателем гладкости. Подготовить к печати статью на эту тему. Получить описание спектра для немонотонных функций P при условии d>0. Ответственный: И.А.Шейпак (работа будет выполняться совместно с Е.Б.Шаровым). 7. Исследовать константы вложения пространства W^n_\infty[0;1] в пространство W^{n-1}_\infty[0;1]. В 2023 году планируется получить описание функций для A_{n,n-1,\infty} и вычислить точные константы вложения из пространства W^n_\infty[0;1] в пространство W^{n-1}_\infty[0;1]. Ответственные: И.А.Шейпак, Т.А.Гарманова. 8. Подготовить к печати статью «Конструкция потенциала для оператора Шредингера на оси по заданному замкнутому множеству». Ответстсвенный й: Г.А.Агафонкин (под руководством И.А.Шейпака. 9. Получить новые достаточные (и по существу необходимые) условия для дискретности спектра, а также для компактности резольвенты несекториального оператора Шрелингера с комплексным потенциалом на полуоси (Обращаем внимание, что класс операторов с компактной резольвентой уже нежели класс операторов с дискретным спектром). Подготовить к печати статью на эту тему. Ответственный С. Н. Туманов 10. Доказать липшицеву устойчивость бесфазовых данных рассеяния на специальном классе опорных потенциалов в задаче о восстанолении компактного потенциала рассеяния в многомерном уравнении Шредингера по дифференциальному сечению рассеяния (модулю амплитуды рассеяния) при фиксированной энергии. Подготовить к печати статью на эту тему. Ответственный В.Н.Сивкин. 11. Получить главный член асимптотики решений на бесконечности некоторых дифференциальных уравнений общего вида ( в частности, для возмущенных уравнений Эйлера), порождённых дифференциальными выражениями с «допустимыми» коэффициентами-распределениями в дивергентной форме, и применить найденные асимптотические формулы к исследованию спектральных характеристик (индекс дефекта, характер спектра самосопряжённых расширений) соответствующих дифференциальных операторов. Подготовить статью на эту тему. Ответственный: К.А. Мирзоев (работа будет проводиться совместно с Н.Н.Конечной). 12. Продолжить исследования по приложениям спектральной теории операторов к теории чисел. .Подготовить материал для статьи о лакунарных рекуррентных соотношениях для многочленов и чисел Бернулли, также многочленов Эйлера с пропусками длины 4, 6 и 8. Ответственный: К.А. Мирзоев (работа будет проводиться совместно с Т.А.Сафоновой).