ИСТИНА

Разработка нового класса искусственных (неотражающих) граничных условий адаптивных к решению вблизи искусственной границы для нелинейного уравнения Шредингера с целью повышения эффективности компьютерного моделирования взаимодействия оптического импульса с полупроводником, описываемое системой нелинейных уравнений, включающую нелинейное уравнения Шредингера. В результате такого взаимодействия имеет место генерация лазеро-индуцированной плазмы. В ходе реализации проекта будет построен алгоритм вычисления параметров, входящих в искусственные неотражающие граничные условия (ГУ), адаптивные к решению вблизи искусственной границы.

Nonlinear optics and laser physics are one of the most important areas of modern science, on which many scientists are working. A pressing scientific and technical problem is the issue of transition to all-optical technologies for processing, storing and transmitting information. The implementation of these technologies is based, among other things, on the phenomenon of optical bistability (OB), which consists in the existence of two stable values of output intensity corresponding to one value of the input intensity of a propagating optical beam. Obviously, to ensure the reliability of an optical switch and optical data processing, a detailed study of the conditions for implementing the OB, the stability of its states, switching contrast, and switching energy is necessary. As is known, in an OB system, based on nonlinear absorption, high absorption domains can be formed, which are characterized by a sharp change in the solution near a certain section of the medium. It is known from optics that a gradient of the refractive index (for example, due to a change in the concentration of free electrons) or the absorption coefficient of a substance leads to the appearance of a reflected wave from the boundary at which this gradient occurs. However, the Fresnel formulas traditionally used to find the amplitude of the refracted and reflected waves are not suitable for this task. In order to correctly model the reflection of a wave from a contrast structure induced by it, it is necessary to use the nonlinear Schrödinger equation to describe the process of propagation of an optical pulse, instead of the equation for the evolution of the intensity of the incident pulse accepted in the literature. This approach makes it possible to take into account the diffraction of an optical beam along the coordinate of its propagation. Mathematically, this means abandoning the approximation of slowly varying amplitude along the propagation coordinate of optical radiation, traditionally used in nonlinear optics. Such problems belong to a new direction in optics - nonlinear gradient optics. Traditionally, this problem is considered in an infinite domain, but in computer modeling it is necessary to limit the computational domain and use artificial boundary conditions, which entails the appearance of a pulse reflected from these boundaries (false wave). This can be avoided by specifying a wider area than required for calculations, but this will lead to a significant increase in computer time, which becomes a critical problem when solving a multidimensional problem. Another way to solve this problem is to formulate non-reflective boundary conditions (the term “transparent boundary conditions” is also found in the literature). Previously, various authors have already proposed methods for constructing such conditions. The most promising, from the point of view of computer modeling, method of constructing non-reflective boundary structures is the use of information about the solution near the artificial boundary. Specifically, the use of the local wavenumber (or group velocity) of the laser beam (or pulse). The novelty of this project lies in the fact that artificial non-reflective BC are being developed that are adaptive to solutions near the artificial boundary. Also, when constructing the conditions, the mutual influence of the projection of wave numbers on the recording of the condition for each of the spatial coordinates is taken into account. In this case, special attention is paid to the case when the pulse passes through the corner point of an artificial boundary - correct consideration of the mutual influence for this case plays a key role and has a significant impact on the efficiency of non-reflective BC. The algorithm itself for calculating local wave numbers is based on the invariant part of the problem. This is an urgent problem, the solution of which will greatly increase the efficiency of the numerical solution of the Schrödinger equation.

Основным результатом проекта будет разработка нового алгоритма построения искусственных неотражающих условий, адаптивных к решению задачи вблизи искусственной границы, для многомерного уравнения Шредингера (в линейном и нелинейном случаях), основанных на учете изменения во времени и пространстве локальных характеристик оптического излучения вблизи искусственной границы и учете всех локальных характеристик при построении условий по каждой координате. Особое внимание будет уделено вычислению параметров искусственных краевых условий при прохождении световой волны через угловую точку искусственной границы. Это позволит многократно увеличить эффективность численного решения уравнения Шредингера. Полученные адаптивные неотражающие ГУ также будут использованы при решении задачи взаимодействия оптического излучения с полупроводником с учетом продельной и поперечной дифракции.

Руководитель проекта имеет большой опыт решения задач генерации лазеро-индуцированной плазмы полупроводника с помощью методов математического моделирования. Для задачи взаимодействия оптического импульса с полупроводником в 2D и 3D постановках им был предложен оригинальный многостадийный итерационный процесс, позволяющий реализовывать экономичные консервативные разностные схемы и обладающий как асимптотической устойчивостью, так и консервативностью на итерациях. Была предложена новая математическая модель взаимодействия оптического импульса с полупроводником, учитывающая продольную дифракцию оптического пучка. Это позволило учесть отражение части падающей волны от индуцированной ею же контрастной структуры в полупроводнике. Разработанные численные методы были реализованы в виде комплекса программ. На его основе было проведено масштабное компьютерное моделирование процесса генерации лазерно-индуцированной полупроводниковой плазмы в условиях реализации абсорбционной оптической бистабильности. Показана принципиальная роль продольной дифракции светового пучка при формировании светоиндуцированной контрастной структуры внутри полупроводника. Был разработан и реализован алгоритм построения неотражающих адаптивных ГУ для 1D линейного и нелинейного уравнения Шредингера и доказанна его эффективность. Так же алгоритм был обобщен для 2D случая, когда импульс движется перпендикулярно одной из границ для которой ставились неотражающие адаптивные ГУ, при этом остальные границы ставились на расстоянии, позволяющем исключить их взаимодействие с импульсом. Исследование проводилось как для линейного случая, так и для нелинейного (на примере задачи взаимодействия оптического излучения с полупроводником). Помимо этого, в работе был представлен алгоритм построения неотражающих адаптивных ГУ, содержащих в себе проекции всех локальных волновых чисел и продемонстрирована необходимость их совместного использования.