ИСТИНА

В рамках данного проекта планируется объединить методы и подходы нескольких бурно развивающихся направлений геометрии и топологии, теории динамических систем, интегрируемых систем и теории особенностей. Этот подход позволит достичь синергии этих инструментов и идей, откроет возможность изучения проблем как лежащих на стыке нескольких перечисленных направлений, так и возникших из приложений, например, механики и математической физики.

Within the framework of this project, it is planned to combine methods and approaches from several rapidly developing areas of geometry and topology, the theory of dynamical systems, integrable systems and the singularity theory. This approach will allow us to achieve a synergy of these tools and ideas, and will open up the possibility of studying problems both lying at the intersection of several of these areas, and those arising from applications, for example, mechanics and mathematical physics.

Коротко перечислим основные направления и задачи, в рамках которых мы планируем получить продвижения: - получение инвариантной формы условий Царева-Гиббонс в терминах законов сохранения и кручения Нийенхейса. Новые редукции системы Бенни. Построение нового подхода к получению многосолитонных решений. - обобщение и развитие классической конструкции разделения переменных с помощью операторов Нийенхейса. Планируется, что полученные конструкции позволят также охватить и случай неортогонального разделения. - развитие новых методов для изучения слоений Лиувилля, их невырожденных особенностей и траекторных инвариантов интегрируемых систем, в частности, топологическая классификация слоений Лиувилля сразу на всём 4-мерном многообразии - получение достаточных условий структурной устойчивости (или неустойчивости) для особенностей интегрируемых систем в вещественно-аналитическом случае; - - топологический анализ псевдоевклидовых аналогов интегрируемых систем, предложенных А.В.Борисовым и И.С.Мамаевым: волчка Лагранжа с гиростатом и потенциалом достаточно общего вида, волчка Ковалевской, системы Жуковского. Также планируется изучить топологию слоений Лиувилля для геодезических потоков индефинитных метрик с интегралами малой степени на двумерных поверхностях, рассматривавшихся ранее А.В.Болсиновым и В.С.Матвеевым. - изучение обобщенных круговых топологических биллиардов (в том числе при добавлении переменного проскальзывания), топологическое описание данного класса систем. - исследование реализуемости (с точностью до изотопии) любого набора попарно не пересекающихся овалов на плоскости в виде вещественной алгебраической кривой (т.е. множества нулей многочлена двух переменных с вещественными коэффициентами) степени 2k, где k - количество овалов. Связь с вопросом реализуемости класса функций Морса примерами функций из другого "хорошего" класса. - изучение неособых потоков Морса-Смейла на ориентируемых 3-мерных многообразиях, имеющих малое количество периодических траекторий. Связи с классом биллиардных книжек - топология и динамика магнитных геодезических потоков на двумерных поверхностях, вопросы типичности возникающих особенностей в таких классах систем, описание бифуркационных диаграмм и комплексов, вычисление инвариантов. - изучение топологии пространств несжимаемых потоков (а также гладких функций) с фиксированным количеством особенностей типов A-D-E на поверхностях, а также разбиения этого пространства на классы топологической эквивалентности, при условии что рассматриваемые несжимаемые потоки имеют “полюса” в источниках и стоках и обладают энергетической функцией; при этом не налагается условие трансверсальности Смейла (об отсутствии седловых связок),

Научный коллектив состоит из 8 человек (6 из них моложе 39 лет), включая двух докторов и четырех кандидатов наук.Все они являются экспертами в основных областях исследований проекта: теории интегрируемых гамильтоновых систем, теории особенностей, геометрии Нийенхейса, теории структурно устойчивых потоков, обладают широкой научной эрудицией и опытом выполнения исследовательских проектов. Ключевыми участниками проекта за последние 5 лет опубликовано 69 работ в рецензируемых изданиях, включая 10 статей в высокорейтинговых и авторитетных журналах первого квартиля Q1, включая иностранные “Advances in Mathematics”, “Nonlinearity”, “Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences” и российские журналы: УМН, Матем. Сборник, Regular and Chaotic Dynamics. Участниками научного коллектива подготовлено 5 кандидатов наук, в том числе в 2023 году. В настоящее время они руководят 4 аспирантами и более чем 10 студентами (в т.ч. 3 студента - у руководителя проекта), ведут занятия по специальным и обязательным курсам в МГУ, НИУ ВШЭ и МФТИ.

.