ИСТИНА

Рассматриваются три рекуррентно заданных случайных последовательности $R^{(1)}_{n+1} = Q_n + M_n R^{(1)}_{n}$ $R^{(2)}_{n+1} = max(Q_n, M_n R^{(2)}_n)$ $R^{(3)}_{n+1} = Q_n + M_n max(R^{(3)}_n, L_n)$, где $R^{(i)}_0=1$, $i=1...3$, $(M_n, Q_n, L_n)$ - н.о.р. векторы, $M_n, L_n\geq 0$ п.н, Изучаются большие уклонения $R^{(i)}_n>e^{\theta n}$, $i=1,..,3$, где $\theta$ - константа, большая $E\ln M_n$. На величины $M_n$, $Q_n$, $L_n$ накладываются условия на степенную скорость убывания "хвостов" распределений. Полученные результаты удается применить к задаче о больших уклонениях ветвящихся процессов в случайной среде с дробно-линейной производящей функцией числа непосредственных потомков (ВПСС-ДЛ), исследуются вероятности больших уклонений ВПСС-ДЛ и ВПСС-ДЛ с иммиграцией или иммиграцией в моменты вырождения, а также ВПСС-ДЛ с большим начальным числом частиц.

Рассмотриваются рекуррентно заданные случайные последовательности $R^{(1)}_{n+1} = B_n +A_n R^{(1)}_{n}$, где $R^{(1)}_0=1$, $(A_n, B_n)$ - н.о.р. векторы с положительными компонентами. Для них получен следующий результат: {\bf Теорема 1.} (о б.у. последовательностей $R_n^{(1)}$). Пусть $EA_n^h<\infty, h\in (0,h^+)$, $EB_n^h<\infty, 0<h<\infty$, $EC_n^h<\infty$. Тогда \\ 1) При $\mu:=E\ln A_n<\infty$ равномерно по $\theta \in [\theta_1,\theta_2]\subset (\max(\gamma,m),\theta^+)$ или выполнено соотношение $P(R_n^{(1)}\ge \exp(\theta n))\sim I(\theta) n^{-1/2} exp(-\Lambda(\theta) n)$, $n\rightarrow\infty$.\\ 2) При $\mu <0$ равномерно по $\theta\in [\theta_1,\theta_2]\subset (0,\gamma)$ выполнено соотношение $P(R_n^{1}\ge \exp(\theta n))\sim \tilde{I(\theta) exp(-\varkappa \theta n)$, $n\rightarrow\infty$.\\ На основе полученных результатов для ветвящихся процессов $Z_n$ в случайной среде доказаны следующие теоремы: {\bf Теорема 2.} Пусть $Z_n$ - ветвящийся процесс в случайной среде (ВПСС) с дробно-линейной производящей функцией числа непосредственных потомков (ВПСС-ДЛ), $S_n$ --- его сопровождающее блуждание с шагами $X_i$. Рассмотрим процесс $Y_n(t) = Z_{[nt]}\exp(-S_[nt])$. Тогда при всех $\theta\in (\max(\theta^*,m_0), \theta^+)$, где $\theta^+$, $\theta^*$, $m_0$ некоторые константы справедливо утверждение $(Y_n(t)|\ln Z_n\ge \theta n)\stackrel{d}{\to} Y$, где сходимость рассматривается в пространстве $D[0,1]$ с метрикой Скорохода, $Y$ --- процесс с постоянными траекториями, $Y(1)$ имеет распределение $F_{\theta}$ для которого получена явная формула. {\bf Теорема 3.} Пусть $Z_n^{ImE}$ и $Z_n^{Im}$ --- надкритические или критические ВПСС-ДЛ с иммиграцией $\xi$ в моменты вырождения и просто иммиграцией, причем соответствующие $X,\zeta$ удовлетворяют условиям $Ee^{hX}<\infty$, $h\in (0,h^+)$, $Ee^{h\zeta}<\infty$, $h\in (0,\infty)$, где $X = \ln f'_{eta}(1)$, $\zeta = \ln f''_{\eta}(1)-2\ln f'_{\eta}(1)$. Тогда при всех $\theta\in (EX,\theta^+)$ выполнены соотношения $P(\ln Z_n^{ImE}\ge \theta n)\sim \exp(-\Lambda(\theta) n) n^{-1/2} I_{ImE}(\theta)$,\\ $P(\ln Z_n^{Im}\ge \theta n)\sim \exp(-\Lambda(\theta) n) n^{-1/2} I_{Im}(\theta)$, $n\rightarrow\infty$ выполнены равномерно по $\theta\in [\theta_1,\theta_2]\subset (\max(\theta^*,m_0), \theta^+)$ Для всех указанных величин $I$, $\tilde{I}$, $I_{ImE}$, $I_{Im}$ получено явное выражение.