ИСТИНА

Проект посвящен изучению оценок скорости сходимости распределений сумм и экстремумов сумм независимых случайных величин к асимптотической аппроксимации, вид которой определяется соответствующей предельной теоремой. Целью проекта является построение новых и уточнение наиболее популярных моментных оценок погрешности такой аппроксимации, использующих информацию о первых моментах элементарных слагаемых, которые можно просто вычислить (оценить) на основе статистической информации. Рассматриваются две схемы суммирования независимых случайных величин и связанные с ними предельные теоремы. В первой схеме число слагаемых считается детерминированным - не случайным. Для такой схемы суммирования рассматривается неклассическая задача оценки скорости сходимости точного распределения экстремумов сумм независимых случайных величин к предельной функции распределения, в качестве которой рассматривается асимптотическая аппроксимация, основанная на (функциональной) центральной предельной теореме – так называемое полунормальное распределение – распределение модуля нормально распределенной случайной величины, совпадающее с распределением максимума стандартного винеровского процесса на единичном отрезке. Во второй схеме индекс суммирования сам является случайной величиной, независимой от слагаемых. При этом рассматриваются две возможности: в первой индекс является случайной величиной с распределением Пуассона, во второй число слагаемых в суммах формируется в соответствии с дважды стохастическим пуассоновским процессом (процессом Кокса). Для таких схем суммирования рассмартиваются оценки скорости сходимости распределений пуассоновских и смешанных пуассоновских случайных сумм к нормальному закону и масштабным смесям нормального закона соответственно.

В первый год работы над проектом внимание было уделено ситуации, которая часто возникает на практике, когда число N слагаемых в сумме заранее не известно - заранее фиксируется не число наблюдений, а время для сбора информации. Были рассмотрены и изучены случайные суммы, в которых число слагаемых формируется в соответствии с дважды стохастическим пуассоновским процессом (процессом Кокса). В качестве прикладного применения таких сумм был рассмотрен процесс риска, где случайная сумма является адекватной математической моделью суммарных выплат страховой компании. В частности, изучены асимптотические свойства процесса риска с экспоненциально-Паретовским распределенными промежутками между моментами выплат. Таким образом, число страховых выплат имеет Пуассон-Парето распределение. Получены несколько важных приближений для таких процессов риска, также исследована скорость сходимости к соответствующему предельному закону. Другая проблема, изученная в ходе работы над проектом, связана с задачей прогнозирования вероятностей катастроф в неоднородных потоках экстремальных событий. Эта задача решается с помощью метода, основанного на предельной теореме для геометрических случайных сумм независимых неодинаково распределенных случайных величин и теории Балкемы–Пикандса–Де Хаана. Рассмотрена конструкция, в рамках которой в качестве предельного распределения для геометрических случайных сумм независимых неодинаково распределенных случайных величин возникает распределение Вейбулла–Гнеденко. Эффективность метода иллюстрируется на примере его применения к прогнозированию наводнений в Санкт-Петербурге. Для этой цели была разработана в среде Visual Studio .Net программа прогнозирования вероятностей катастроф, написанная на языке высокого уровня C#.