| Результаты этапа: Основные результаты работы за 2014 год состоят в следующем.
В области предельных теорем доказана новая форма закона повторного логарифма для ассоциированных случайных полей, являющая новой уже в случае независимых слагаемых. Кроме того, установлено, что сходимость по вероятности эмпирических распределений к неслучайному пределу является необходимым и достаточным условием асимптотической независимости в схеме серий для симметрически зависимых случайных величин. Наконец, построены явные оценки точности аппроксимации в центральной предельной теореме теории вероятностей с помощью асимптотических разложений.
В области стохастических дифференциальных уравнений построены схемы дискретизаций для стохастических дифференциальных уравнений, приводящие к генераторам с дробной производной по времени. Кроме того, доказана непрерывность в метрике полной вариации инвариантных распределений решений аффинных стохастических дифференциальных уравнений с запаздыванием, управляемых процессами Леви. Предложен новый подход к линейным стохастическим рекуррентным последовательностям, связанный с рассмотрением процесса, удовлетворяющего стохастическому дифференциальному уравнению, наблюдаемого через случайные промежутки времени.
В области диффузионных процессов решена задача об оптимальной остановке для функций, зависящих от максимума однородной диффузии на бесконечном временном горизонте. Получено дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять граница оптимального множества остановки различных случаях. Доказан принцип максимума. В случае конечного временного горизонта задача об оптимальной остановке решена в условиях однократного пересечения. Найдена система из дифференциального и интегрального уравнений Вольтерры, которой должна удовлетворять граница области оптимальной остановки и доказан принцип максимума. Наконец, построены асимптотические разложения в локальных предельных теоремах для цепей Маркова, слабо сходящихся к диффузионому процессу.
В области теории мартингалов доказаны новые потраекторные неравенства для мартингалов, в частности, потраекторные аналоги неравенств Дуба о вероятности выхода за уровень. Доказано, что среди интегрируемых процессов только субмартингалы и супермартингалы могут быть получены из броуновского движения с детерминированным начальным условием с помощью замены времени, в которой все моменты остановки являются минимальными. Получены необходимые и достаточные условия на интегрируемые случайные процессы, которые могут быть получены из броуновского движения с произвольным начальным условием с помощью замены времени, в которой все моменты остановки являются минимальными.
В области случайных ветвящихся блужданий проведена классификация асимптотического поведения процесса в зависимости от интенсивностей размножения и гибели частиц в источниках и свойств блуждания. Доказаны теоремы о свойствах решений дифференциальных уравнений с произвольными разностными операторами, удовлетворяющими условию Шура. Эти результаты применены к исследованию решений дифференциальных уравнений для эволюционных операторов, возникающих в моделях симметричных и симметризуемых ветвящихся случайных блужданий. Доказаны новые предельные теоремы, для ветвящегося случайного блуждания с бесконечной дисперсию скачков. Полученные результаты применены к исследованию структуры популяции частиц внутри фронта распространения частиц.
В области математической статистики проведенные работы были направлены на выявление значимых факторов, определяющих случайный отклик. Предложены новые статистические оценки, позволяющие производить отбор значимых факторов. Кроме того, установлена центральная предельная теорема для регуляризованных оценок. Это дает основание для вывода о статистической устойчивости такого анализа данных. Осуществлено также компьютерное моделирование, показавшее эффективность развиваемого подхода. Установленные результаты представляют не только теоретический интерес, но и полезны в ряде медико-биологических исследований.
В области теории массового обслуживания найдено необходимое и достаточное условие стабильности для дискретной многоканальной системы обслуживания с неидентичными и ненадежными приборами. Доказана эргодическая теорема для одноканальной системы обслуживания, в которой вероятность выхода прибора из строя зависит от состояния случайной среды, описываемой цепью Маркова. Для одноканальной системы системы обслуживания с регенерирующим входящим потоком найдены условия, при которых существует ненулевой логарифмический предел вероятностей больших уклонений времени ожидания в стационарном режиме. Применение разработанных подходов к решению прикладной задачи о целесообразности установки светофора у пешеходного перехода на автомобильной трассе привело к построению математической модели обслуживания с различными очередями, ненадежными приборами и приоритетами. Наконец, предложен метод описания квазивходящего потока в системы обслуживания с помощью эквивалентной случайной нагрузки. С его помощью получены новые доказательства свойств квазивходящего потока.
В области математической теории страхования и запасов рассмотрена модель управления запасами с дискретным временем и ненадежными поставщиками. Для нее найдены оптимальные стратегии, минимизирующие дисконтированные средние издержки за n периодов. Доказано существование асимптотически оптимальных стратегий управления, преимущество которых состоит в том, что ими гораздо легче пользоваться на практике, так как они не меняются при изменении горизонта планирования. Кроме того, были исследованы многокомпонентные модели страхования, а именно, в рамках стоимостного подхода проведена оптимизация функционирования страховой компании в различных предположениях об инвестициях, выплате дивидендов, использовании банковских займов и перестрахования.
В области теории случайных полей получено новое моментное неравенство для слабо зависимых случайных полей, на сегодняшний день наиболее общее среди неравенств для полей своего класса. Даны его приложения к функциональным предельным теоремам для объемов экскурсионных множеств ассоциированных случайных полей.
В области теории кодирования и теории информации исследованы границы скорости ДНК-кодов для различных мотивированных приложениями молекулярной биологии функций сходства ДНК-последовательностей. Установлена достижимость классической верхней границы скорости дизъюнктивных кодов. Получены первые результаты по вероятностным обобщениям комбинаторных моделей теории дизъюнктивных кодов.
В области теории больших случайных систем исследован вопрос о нахождении естественных пространственных шкал в синхронизованной системе броуновских частиц. Изучены временные шкалы для марковской стохастической модели синхронизации времен в сети беспроводных сенсоров. Предложен широкий класс общих (немарковских) многокомпонентных систем с синхронизацией, основанных на процессах Леви, и получен ряд асимптотических результатов при росте числа компонент к бесконечности.
В области применения вероятностных методов в физике показано, что флуктуации играют в работе механизмов формирования крупномасштабного магнитного полей небесных тел гораздо большую роль, чем в привычных задачах статистической физики. Рассмотрены яркие проявления флуктуационных составляющих в поведении крупномасштабных компонент магнитного поля. Например, на основе анализа наблюдательных данных продемонстрирована флуктуационная природа дипольного момента Солнца на протяжении приблизительно 3 месяцев из 11 лет цикла солнечной магнитной активности.
В рамках выполнения договора с Центральным Банком Российской Федерации разработаны методы оценки влияния на убыточность, как увеличения страховой суммы, так и введения нормативов и порядка расчета размера страховых выплат. На основе информации о совместном эмпирическом распределении выплат по ущербам имуществу и выплат по вреду жизни или здоровья потерпевшему при заданных ограничениях на выплаты предложено методом двумерного бутстрепа находить премию для отдельного страхователя
|
