| Результаты этапа: Предложен новый метод регуляризации обратной задачи теплопроводности (проблемы исторического климата), позволяющий применить для ее решения метод Фурье. В отличие от других методов предложенный алгоритм не связан с увеличением порядка регуляризованного дифференциального уравнения. Доказана корректность регуляризованной задачи и получены оценки решения.
Выполнена работа по дальнейшему развитию численно-аналитического метода решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод основан на ортогональных разложениях решения и его производных, входящих в дифференциальные уравнения, в ряд по смещенным многочленам Чебышева первого рода. Показано значительное превосходство предложенного метода перед классическими одношаговыми и многошаговыми методами по таким показателям, как число выполненных шагов интегрирования и количество обращений к процедуре вычисления правых частей дифференциальных уравнений, которые на несколько порядков ниже соответствующих показателей других методов.
Предложено новое представление координатных функций рассматриваемых (вообще говоря, неполиномиальных) сплайнов. Благодаря этому представлению получены двусторонние оценки координатных функций для сплайнов максимальной гладкости и получены интегральные оценки погрешности аппроксимации соответствующими сплайн-вэйвлетами.
Получены представления остатков биортогональной сплайновой аппроксимации на неравномерной сетке, что приводит к эффективной оценке погрешности аппроксимации как самих функций, так и их производных; полученные оценки точны на компонентах порождающей вектор-функции.
Исследована зависимость построенных сплайнов от значений генерирующей вектор-функции и от ее производных в узлах рассматриваемой сетки; установлено, что рассматриваемые координатные функции полностью определяются значениями этой функции на их носителе.
Предложены новые варианты триангуляции, допускающие локальное укрупнение ячеек сетки, и для соответствующих вложенных пространств построено всплесковое разложение. Установлено, что предлагаемый алгоритм укрупнения обладает свойством инвариантности структуры и может быть использован для получения вэйвлет-пакета. Результаты проиллюстрированы на модельных примерах.
Доказаны теоремы и сформулированы условия, при которых тригонометрические интегро-дифференциальные сплайны дают лучше аппроксимацию, чем полиномиальные интегро-дифференциальные сплайны.
Построены экономичные алгоритмы сплайн-вэйвлетных разложений первого порядка. Предложены эффективные параллельные реализации этих алгоритмов для упомянутых разложений. Исследована их устойчивость при распараллеливании с использованием автоматизированных средств и интерфейсов (стандартов MPI, Open MP и др.).
|
