ИСТИНА

Системы гиперболических уравнений на решениях, в которых характеристики одного семейства не пересекаются, обладают свойством временной обратимости. Это качество дифференциальных уравнений естественно попытаться перенести и на разностные схемы, или иные вычислительные алгоритмы, аппроксимирующие эти уравнения. В рамках данного проекта была предпринята попытка использовать принцип временной обратимости как конструктивный элемент при построении новых вычислительных алгоритмов. На основе принципа временной обратимости были построены новые семейства «неклассических» схем КАБАРЕ. Так были разработаны явные разностные схемы на вложенных сетках, получаемых из исходной сетки с косоугольными гексагональными ячейками делением части ячеек на восемь составных частей (т.н. восьмидеревья), сохраняющие основные позитивные характеристики «классической» схемы. Принцип временной обратимости позволил естественным образом построить однопараметрическое семейство безусловно устойчивых схем, частным случаем которого является явная схема КАБАРЕ. Использование требования временной обратимости как конструктивного принципа позволило обобщить разностную схему КАБАРЕ на уравнения многокомпонентной газовой динамики и двухслойной мелкой воды. Были построены явно – неявные схемы КАБАРЕ, явные по одному, и неявные по другому пространственному направлению. Целью было ослабление ограничений на допустимый шаг по времени в области тонких погранслоев при использовании расчетных ячеек с большим аспектным отношением.

Для гиперболических систем законов сохранения и задач механики сплошных сред с доминирующим сеточным переносом будут разработаны новые вычислительные алгоритмы, обладающие свойством временной обратимости там, где эта обратимость имеет место для исходных дифференциальных уравнений Сейчас на повестке дня стоят вопросы обобщения схемы КАБАРЕ на сетки с произвольной топологией расчетных ячеек ( в том числе и вложенные сетки), а также построение неявных, безусловно устойчивых разностных схем, обладающих свойством временной обратимости и алгоритмов их численного решения. Будет разработан общий подход к построению обратимых по времени разностных схем и проведено сравнительное исследование их дисперсионных характеристик с целью последующей минимизации фазовых ошибок. Будет разработан и исследован новый класс безусловно устойчивых (неявных) схем КАБАРЕ и предложены алгоритмы их численной реализации. Будет проведено обобщение обратимых по времени неявных разностных схем типа КАБАРЕ на одномерные и двумерные уравнения мелкой воды. Разработка частично неявных (явных по одному, и неявных по другому направлениям) алгоритмов, ориентированных на решение задач с пограничными слоями.

Сама постановка задачи о разработке технологии получения семейств обратимых по времени алгоритмов для задач механики сплошных сред является новой. Разработка эффективных алгоритмов для решения уравнений конвективного переноса является одной из фундаментальных проблем современной вычислительной математики, поскольку является ключевым элементом численного моделирования процессов с доминирующим сеточным переносом (уравнения Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса) и гиперболических систем законов сохранения (уравнения газовой динамики и магнитной гидродинамики). Широко распространено мнение, что наиболее последовательным и перспективным направлением ее решения является развитие метода конечных элементов с разрывными базисными функциями (Discontinious Galerkin). Другой интенсивно развиваемый подход связан с использованием конечно - разностных схем высокого (десятого и выше) порядка аппроксимации. Именно этим двум направлениям и посвящено подавляющее число публикаций по данной проблеме. В России, в работах Головизнина В.М. и Самароского А.А (1986 г.) заложено принципиально новое направление, связанное с развитием обратимых по времени алгоритмов второго порядка аппроксимации, на котором в последнее десятилетие были достигнуты впечатляющие успехи, в частности были разработаны различные варианты схемы КАБАРЕ, успешно применяемые в различных областях фундаментальной и прикладной науки. Получаемые при этом результаты можно считать превосходящими существующий мировой уровень.

Разработан общий подход к построению обратимых по времени разностных схем для уравнений переноса. На основе принципа временной обратимости построена неявная, безусловно устойчивая, бездиссипативная схема второго порядка аппроксимации для одномерного уравнения переноса, которую можно назвать неявной схемой КАБАРЕ. Построена обратимая по времени новая явная разностная схема для простейшего уравнения переноса четвертого порядка аппроксимации на компактном вычислительном шаблоне. Выполнено обобщение неявной, обратимой по времени схемы КАБАРЕ на нелинейную систему уравнений "мелкой воды" в одномерном приближении. Исследование дисперсионных и диссипативных свойств этой схемы на линейных акустических задачах. Проведен анализ качества численных решений на модельной задаче о распаде произвольного разрыва. Разработка частично неявной обратимой по времени разностной схемы типа КАБАРЕ для двумерных уравнений мелкой воды. Построено однопараметрическое семейство неявных обратимых по времени схем типа КАБАРЕ для системы квазилинейных уравнений мелкой воды в одномерном приближении для дозвуковых течений. Все схемы этого семейства имеют второй порядок аппроксимации, как по времени, так и по пространству. Проведено исследование диссипативных и дисперсионных свойств этих схем в линейном приближении. Построены диссипативные и дисперсионные поверхности для различных значений параметра семейства. Отдельное исследование проведено для чисто неявной схемы, не входящей в однопараметрическое семейство. Получены необходимые условия линейной устойчивости. Показано, что в построенное семейство входит и безусловно устойчивая разностная схема. Для монотонизации численного решения в зонах больших градиентов используется хорошо зарекомендовавший себя на явных схемах «принцип максимума». Разработано два алгоритма для численного решения неявных разностных схем типа КАБАРЕ. Первый основан на использовании метода Ньютона. На каждой итерации он сводится к системе трехточечных матричных уравнений, которая решается методом матричной прогонки .Для достижения заданной точности требуется 3-4 итерации. Второй алгоритм можно отнести к типу «предиктор-корректор». Он сводится к методу «бегущего счета» и является более экономичным с точки зрения вычислительных затрат. Качество новых разностных схем исследовано на задаче о распаде произвольного разрыва. Подход к построению неявных обратимых по времени разностных схем, использованный в одномерном случае обобщен на двумерный случай. Построено однопараметрическое семейство неявных схем типа КАБАРЕ для нестационарных уравнений мелкой воды в случае двух пространственных измерений. Написана и отлажена компьютерная программа, реализующая явную условно устойчивую схему. Проведены тестовые расчеты, в частности, задачи о динамике вихревой пары водоворотов и их взаимодействии с границами области. Использование требования временной обратимости как конструктивного принципа позволило обобщить разностную схему КАБАРЕ на уравнения многокомпонентной газовой динамики и двухслойной мелкой воды. Кроме того, легло в основу алгоритма обработки т.н. «звуковых точек» в расчетах трансзвуковых течений. Для уравнений мелкой воды построена двумерная частично неявная схема КАБАРЕ – явная по одному направлению, и неявная – по другому. Написана и отлажена компьютерная программа, проведены тестовые расчеты.