ИСТИНА

Применение искусственных (называемых также в литературе как неотражающих, поглощающих) краевых условий позволяет многократно увеличить эффективность компьютерного моделирования за счет существенного уменьшения размеров расчетной области. Это особенно актуально для расчета двухмерных и трехмерных нестационарных процессов, описываемых нелинейными уравнениями, в частности, нелинейным уравнением Шредингера либо уравнениями Максвелла. Поэтому эта проблема постоянно привлекает внимание различных исследовательских групп. Следует подчеркнуть, что современные задачи взаимодействия лазерного излучения с веществом требует расчетных сеток с сотнями миллионами узлов. Примерами таких задач служат фотонные кристаллы с характерными размерами в 50-400 нанометров. Следовательно, уменьшение числа узлов за счет уменьшения расчетной области дает многократное уменьшение времени вычислений. Это один из эффективных направлений ускорения выполнения расчетов наряду с распараллеливанием расчетных алгоритмов. Другой важной характеристикой искусственных краевых условий является их эффективность. Ее количественной характеристикой является амплитуда отраженной волны. Для рассматриваемого класса задач она должна быть меньше некоторого критического значения, чтобы в случае нелинейного распространения волны не изменять условия ее распространения. Как правило, имеющиеся в литературе неотражающие краевые условия индуцируют отраженную волну с амплитудой не меньше 1-3% от амплитуды падающей волны. В случае нелинейного распространение оптического излучения необходимо уменьшить эту амплитуду, по крайней мере, до 0.1%, что представляет собой практически не решаемую задачу без привлечения адаптации искусственных краевых условий. Под адаптацией мы понимаем оценку волнового числа вблизи искусственной границе. До сих пор эту методику в рассматриваемом классе задач никто не предлагал. Современные искусственные краевые условия всегда используют волновое число волны, заданное в начальный момент. Это неизбежно приводит к росту отраженной волны от искусственной границы. Следует также подчеркнуть, что при реализации адаптивных условий необходимо исследовать влияние ошибок округления на устойчивость решения разностной задачи вследствие вычисления локальной фазы его решения при его малой абсолютной величине, что, как правило, имеет место при постановке искусственных краевых условий. Еще дна актуальная проблема состоит в развитии неотражающих краевых условий для многомерного уравнения Шредингера. До настоящего времени имеется два способа решения нелинейного многомерного уравнения Шредингера. Первый состоит в использовании алгоритма быстрого преобразования Фурье. Очевидно, он не может быть использован в случае произвольных краевых условий. Другой путь в решении этой проблемы состоит в использовании метода расщепления для многомерного уравнения Шредингера, при котором решение исходной задачи сводится к решению одномерных уравнений. Однако, метод расщепления не обладает свойством консервативности в случае нелинейного распространения. Поэтому создание методов обращения конечно-разностных операторов, имеющих место при аппроксимации соответствующих уравнений Шредингера, с произвольными краевыми условиями является также актуальной задачей с целью записи консервативных разностных схем. Все эти проблемы являются предметом исследования данного проекта. Развиваемые подходы будут применены для решения современных задач распространения фемтосекундных лазерных импульсов в различных нелинейных средах.

За отчетный период выполнялись исследования по построению искусственных краевых условий, базирующихся на анализе решения вблизи границы, т.е. строились адаптивные к решению искусственные краевые условия. Для этого вычислялось локальное значение волнового числа лазерного пучка или мгновенной частоты лазерного импульса. При этом распространение лазерных пучков или импульсов описывается уравнением Шредингера, в том числе и нелинейном. В рамках данных исследований получены следующие результаты: предложено анализировать локальное волновое число лазерного пучка (или мгновенную частоту лазерного импульса) вблизи границы для построения искусственных краевых условий для уравнения Шредингера. Это позволило многократно снизить амплитуду отраженной волны по сравнению с достигаемой в известных в литературе методов; предложен способ преодоления неустойчивости при вычислении локального волнового числа лазерного пучка (мгновенной частоты лазерного импульса) вблизи границы области; предложен способ преодоления неустойчивости при вычислении локального волнового числа лазерного пучка (мгновенной частоты лазерного импульса) вблизи границы области. Он основан на применении части инвариантов задачи для вычисления локального волнового числа; показано, что использование адаптивного волнового числа в искусственных краевых условий для нелинейного уравнения Шредингера, описывающего распространение волны внутри резонатора, позволяет уменьшить отраженную от границу волну; предложен двухстадийный итерационный процесс для обращения оператора перехода с одного слоя на другой в разностной схеме для нелинейного уравнения Шредингера с произвольными краевыми условиями; предложен комбинированный метод численного решения нелинейного уравнения Шредингера на основе сочетания метода Розенброка и неявной консервативной разностной схемы; для поглощающих краевых условий, используемых для уравнений Максвелла, предложено применение неоднородного по пространству поглощения и исследовано эффективность его применения. Показано, что за счет неоднородности коэффициента поглощения можно в три раза сократить размер области, в которой рассчитывается поглощающее краевой условие, а также достичь амплитуду отраженной волны, меньшей чем 0.1%; используя построенные искусственные краевые условия, выполнено компьютерное моделирование сильной нестационарной самофокусировки световых пучков сложного пространственного профиля в среде с квадратичной нелинейностью. Ранее нами было предсказано существование такого эффекта для гауссовых пучков; на основе системы одномерных уравнений Максвелла рассчитано отражение фемтосекундного импульса от слоя, имеющего изменяющую во времени диэлектрическую проницаемость. Предсказан эффект формирования суперконтиума для импульса, отраженного в данных условиях. Показана необходимость контроля числа гармоник в спектральном пространстве для адекватного описания исследуемого процесса. Другая рассматриваемая проблема посвящена достижению линейного роста производительности мно-гопроцессорного компьютера, использующего процессоры Intel и технологию OpenMP, при увеличении числа процессоров в случае наличия оптимизации компилятора. Впервые показано, как получить линейный рост производительности компьютера при параллельной работе алгоритма, в этом случае. Показано, как должна быть организована программа в зависимости от числа процессоров для достижения максимального роста ее производительности. В этом случае производительность 8 процессоров компьютера Itanium превосходила 30 процессоров компьютера фирмы IBM. Достижения линейного роста в рассматриваемой нами ситуации базировалось на анализе работы оперативной памяти компьютера Itanium. Все полученные результаты докладывались на международных конференциях и опубликованы в изданиях, индексированные в WOS, Scopus.