| 1 |
1 января 2014 г.-31 декабря 2014 г. |
Аналитические методы в некоммутативной геометрии и топологии |
| Результаты этапа: Найдено условие существования каплинга между заранее заданным расслоением LAB конечномерных алгебр Ли и касательным расслоением к многообразию. Множество всех каплингов между расслоением LAB конечномерных алгебр Ли и касательным расслоением к многообразию находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех изоморфных классов локально тривиальных расслоений со структурной группой автоморфизмов конечномерной алгебры Ли с новой топологией. Оно может быть описано в гомотопических терминах отображений многообразия в классифицирующее пространство структурной группы.
Установлено, что препятствие Маккензи к существованию транзитивного алгеброида Ли для заданного каплинга описывается в виде характеристического класса как класса трехмерных когомологий на классифицирующем пространстве с коэффициентами в локальной системе, порожденной естественным действием структурной группы на центре алгебры Ли.
Показано, что любое локально ограниченное конечномерное представление связной группы Ли непрерывно на коммутанте группы во внутренней топологии Ли коммутанта и непрерывно на пересечении коммутанта группы с радикалом в исходной топологии данной группы Ли.
Показано, что любой локально ограниченный псевдохарактер на связной локально компактной группе G определяется локально ограниченным псевдохарактером на некоторой факторгруппе группы G. Если G совершенна, то он определяется непрерывным псевдохарактером на некоторой факторгруппе группы G. Если он непрерывен и не является обычным вещественным характером, то непрерывный псевдохарактер на некоторой факторгруппе группы G, его определяющий, не является вещественно-аналитическим и даже имеет нетривиальные области постоянства. Получены также некоторые другие свойства псевдохарактеров на связных локально компактных группах Ли.
Построены аналоги волновых операторов для ограниченных представлений аменабельных групп в банаховых пространствах. Показано, что соответствующие сплетающие операторы, получаемый применением инвариантных средних к операторнозначным функциям, имеют, вообще говоря, более сложное поведение по сравнению со случаем волновых операторов для унитарных однопараметрических групп в гильбертовых пространствах.
Получен аналог теоремы Ли для (не обязательно непрерывных) конечномерных представлений разрешимых конечномерных локально компактных групп со связной факторгруппой по центру.
Полученный ранее результат о том, что предельные переходы в обобщенной системе Тоды (в случае различных собственных значений матрицы Лакса) определяются диаграммой Хассе порядка Брюа на группе перестановок из n элементов, удалось обобщить на случай матриц с совпадающими собственными значениями. При этом диаграмма переходов стала совпадать с диаграммой порядка Брюа на множестве перестановок мультимножеств. В этом случае также оказывается возможным найти дополнительные (экзотические) инварианты динамической системы, взамен вырождающихся стандартных.
Построены когомологии n-симплициального отношения, обобщающие на многомерный случай конструкцию когомологий Янга-Бакстера, использовавшихся ранее для построения инвариантов многомерных узлов. Эти когомологии (в малых размерностях) могут быть применены для построения новых решений уравнений тетраэдра.
Построены аналоги базиса Уолла и базиса Арона для алгебры Стинрода mod p без операции Бокштейна. Также были построены полезные модификации этих новых базисов, аналогов которым нет для p=2. |
| 2 |
1 января 2015 г.-31 декабря 2015 г. |
Аналитические методы в некоммутативной геометрии и топологии |
| Результаты этапа: Продолжены исследования по нахождению условий на конечномерную алгебру Ли, при которых препятствие Маккензи тривиально. Установлено, что для $n$-мерной алгебры Гейзенберга препятствие Маккензи тривиально. Описаны группы внутренних автоморфизмов для нильпотентных алгебр Ли.
Начата новая тема по исследованию собственных и близких к собственным действий дискретной группы на некомпактных многообразиях и соответствующих эквивариантных почти комплексных структур. Установлено, что для картановских действий дискретной группы на многообразии структура почти комплексного многообразия корректно согласована с бордизмами.
Проведено исследование операторов дифференцирования на некоторых групповых кольцах, состоящих из быстро убывающих функций на дискретной группе. Описан группоид операторов дифференцирования на групповом кольце быстро убывающих функций. Установлена точная последовательность, связывающая внутренние и внешние дифференцирования.
Изучались достаточные условия суперустойчивости квазигомоморфизмов и квазипредставлений групп и полугрупп, т.е. автоматического совпадения данного квазигомоморфизма или квазипредставления с обычным гомоморфизмом или представлением. Установлены новые условия суперустойчивости квазигомоморфизмов групп и полугрупп в банаховы алгебры в терминах неограниченности орбит.
Изучались свойства почти периодических и слабо почти периодических функций на [FIR] группах. Доказано, что равномерно непрерывная функция на [FIR] локально компактной группе почти периодична, если её спектр дискретен, а инвариантное среднее на слабо почти периодических функциях допускает простую формулу в терминах функций на дуальном пространстве группы.
Продолжено изучение псевдохарактеров и квазипредставлений групп и полугрупп. Получены общие теоремы, описывающие условия, при выполнении которых данный псевдохарактер на нормальной подгруппе данной группы может быть продолжен до псевдохарактера на всей группе и условия единственности этого продолжения.
В качестве развития полученного ранее результата о связных группах Ли, получен структурный результат о связных проективно-лиевых группах, вложимых в компактные. Доказано, что аналог теоремы Фрейденталя-Вейля выполняется для некоторых (не обязательно непрерывных) гомоморфизмов связной проективно-лиевой группы в компактную группу.
Построен ряд трехмерных сбаланированных многогранников, не Е-эквивалентных (в смысле определения Брунса-Губеладзе) известным ранее многогранникам. Вычислены соответствующие элементарные подгруппы и К-группы коммутативных колец
Построен "полуинвариант" двумерных узлов: двухмерным узлом называется класс изотопии вложения двухмерной поверхности (например, сферы) в четырехмерное евклидово пространство. Для изучения таких объектов используют понятие "диаграммы узла" - образа вложенной поверхности при проекции из 4-х-мерного в 3-х-мерное пространство. Эта диаграмма представляет из себя погруженное в $R^3$ двумерное многообразие с указанными на множестве двойных точек "проходами и переходами". Известно, что две диаграммы представляют один и тот же узел, если их можно перевести друг в друга последовательным применением набора стандартных преобразований ("движений Розмана"). Мы строим по диаграмме число, которое не меняется при большинстве вышеуказанных движений.
Продолжено развитие теории деформационного квантования алгебр с симметриями. Найден набор уравнений, позволяющих (в случае разрешимости) перенести в кантованную алгебру метод сдвига аргумента для построения "квантовых динамических систем".
Показано, что фазовый портрет системы Тоды на группах Sp(4) и на G_2 совпадает с порядком Брюа соответствующих групп Вейля.
|
| 3 |
1 января 2016 г.-31 декабря 2016 г. |
Аналитические методы в некоммутативной геометрии и топологии |
| Результаты этапа: |
