ИСТИНА

Исследования в области теории диофантовых приближений, комбинаторной и аналитической теории чисел

Решено несколько известных задач из теории диофантовых приближений. Решена задача В. Шмидта о последовательных минимумах однопараметрического семейства решеток, построен контрпример к гипотезе Шмидта о диофантовых приближениях с положительными числами и получен новый результат о показателях приближений вещественных чисел квадратичными иррациональностями, уточняющий теорему Давенпорта-Шмидта. Даны простые доказательства недавних результатов Шмидт-Зуммерера о последовательных минимумах. Получены новые неулучшаемые неравенства для диофантовых экспонент в задачах о приближении трех четырех вещественных чисел. Доказаны новые теоремы переноса, в частности оптимальная теорема переноса для равномерных показателей для систем линейных форм. Получен ряд результатов о рациональных числах с ограниченными неполными частными, в частности, элементарными методами получено усиление теоремы Бургейна-Конторовича о том, что гипотеза Зарембы верна для почти всех натуральных чисел. Доказаны новые теоремы о сингулярных функциях распределения рациональных чисел, связанных с разложением в различные виды цепных дробей. В частности, получены результаты о производной функции Минковского и ее обобщений - некоторых функций из семейства Денжуа-Тихого-Уица. Решена задача Н. Шевалле о независимых наилучших диофантовых приближениях. Получены новые результаты о диофантовых приближениях с лакунарными последовательностям, в частности, о диофантовых приближениях со степенями чисел Пизо. Исследованы некоторые диофантовы спектры, в частности, дано полное описание спектра Дирихле в задаче о совместных приближениях двух вещественных чисел в евклидовой норме. Доказаны новые теоремы об оценках линейных форм от q-рядов и их производных, и о нулях комбинаций некоторых L-функций.