ИСТИНА

В рамках проекта планируется исследовать задачу граничного управления процессом колебаний в пространствах, содержащих обобщенные производные первого и второго порядка. Планируется изучение задачи граничного управления для процесса колебаний, описываемых разрывным волновым и телеграфным уравнениями. Планируется установить зависимость оценок скорости равносходимости на внутреннем компакте основного интервала биортогональных разложений функций по системам корневых функций обыкновенных дифференциальных операторов высокого порядка с разложением этих функций в тригонометрический ряд Фурье от расстояния компакта до границы отрезка. Планируется провести оценку спектрального разложения и спектральной функции оператора Шредингера с потенциалом типа Като.

В рамах проекта были получены следующие результаты: 1.Для волнового уравнения получены критерии принадлежности классам Lp и W_p^1 решений смешанных задач с краевым условием второго рода. 2.С использованием найденных критериев была показана эквивалентность двух определений обобщенного решения смешанной задачи для волнового уравнения. 3.Для уравнения Клейна-Гордона-Фока найдены необходимые условия принадлежности решений Lp и W_p^1 решений смешанных задач с краевым условием первого рода. 4. Найдено оптимальное граничное управление упругой силой для процесса колебаний, описываемых уравнением Клейна-Гордона-Фока. Рассмотрен случай промежутка времени, больший, чем удвоенная длина стержня. При этом показано, что управление в этом случае не единственно. Рассмотрено управление, доставляющее минимум функционалу граничной энергии, что позволило найти граничное управления в явном виде через функции начальных и финальных скоростей и смещений стержня. Явный вид данного управления позволит определить необходимые и достаточные условия его принадлежности пространствам Лебега и Соболева в терминах условий на начальные и финальные функции. 5.Исследованы спектральные свойства обыкновенных дифференциальных операторов четного порядка 2n, n > 1, с негладкими коэффициентами в дифференциальной операции, в том числе и при (2n - 1) -й производной. При этом используется подход, описанный в монографии В.А. Ильина [1, с. 347–349] изучения спектральных свойств операторов безотносительно к конкретному виду краевых условий. Исследована зависимость оценок скорости локальной сходимости спектральных разложений от расстояния внутреннего компакта K до границы dG в случаях, когда нормированные коэффициенты Фурье \alpha_{k}f_k имеют асимптотику O(\lambda_{k}^{-\nu} ),\nu = const > 0, \lambda_k – спектральный параметр, и когда коэффициенты имеют асимптотику O(\lambda_{k}^{-\nu} ln^{-\betta}( \lambda_k), \betta = const. 6. Исследован цикл задач граничного управления процессом, описываемым уравнением Клейна-Гордона-Фока с переменным коэффициентом и одной пространственной переменной, в случае, когда время управления равно критическому, а управление осуществляется условием Дирихле на одной или на обеих границах. Рассмотрены случаи, когда коэффициент является ограниченной измеримой функцией и когда коэффициент принадлежит лишь классу суммируемых с квадратом функций. Получены оценки корневых функций сильно сингулярного обыкновенного дифференциального оператора второго порядка на конечном интервале в нормах различных пространств Лебега, в том числе оценки «антиаприорного» типа. 7.Исследована одна несамосопряженная задача для дифференциального уравнения второго порядка с инволюцией. Получены условия, обеспечивающие базисность системы корневых функций этой зада-чи, состоящей из бесконечного числа собственных и бесконечного числа присоединенных функций. Доказано отсутствие базисности обобщенной системы типа Костюченко в пространстве L2 на любом отрезке действительной оси.