| 1 |
1 января 2014 г.-31 декабря 2014 г. |
Развитие аналитических методов решения краевых и спектральных задач теории граничного управления |
| Результаты этапа: Получено обобщение результатов, описанных в монографии В.А. Ильина для разложения по равномерно ограниченной ортонормированной системе, на случай разложения по собственным функциям оператора Лапласа в N-мерной области G, для собственных значений \lambda_{k} и собственных функций u_{k}(x) которого билинейный ряд \Sum\limits_{k=1}^{\infty} u_{k}(x) u_{k}(y)/\lambda_{k}^{n} сходится при некотором сколь угодном большом номере n равномерно по совокупности точек (x,y), одна из которых принадлежит всей замкнутой области G, а другая—произвольной строго внутренней подобласти G. Если {u_{k}(x)}-- рассматриваемая система собственных функций, p –число из интервала 1=1 . Представлено в печать развернутое доказательство эквивалентности двух ранее использованных определений обобщенного решения смешанной задачи для волнового уравнения из класса L_p при p>=1. Исследованы спектральные свойства обыкновенных дифференциальных операторов четного порядка 2n, n > 1, с негладкими коэффициентами в дифференциальной операции, в том числе и при (2n - 1) -й производной. При этом используется подход, описанный в монографии В.А. Ильина [1, с. 347–349] изучения спектральных свойств операторов безотносительно к конкретному виду краевых условий. Исследована зависимость оценок скорости локальной сходимости спектральных разложений от расстояния внутреннего компакта K до границы dG в случаях, когда нормированные коэффициенты Фурье \alpha_{k}f_k имеют асимптотику O(\lambda_{k}^{-\nu} ),\nu = const > 0, \lambda_k – спектральный параметр, и когда коэффициенты имеют асимптотику O(\lambda_{k}^{-\nu} ln^{-\betta}( \lambda_k), \betta = cons. Исследован цикл задач граничного управления процессом, описываемым уравнением Клейна-Гордона-Фока с переменным коэффициентом и одной пространственной переменной, в случае, когда время управления равно критическому, а управление осуществляется условием Дирихле на одной или на обеих границах. Рассмотрены случаи, когда коэффициент является ограниченной измеримой функцией и когда коэффициент принадлежит лишь классу суммируемых с квадратом функций. Получены оценки корневых функций сильно сингулярного обыкновенного дифференциального оператора второго порядка на конечном интервале в нормах различных пространств Лебега, в том числе оценки «антиаприорного» типа. Было проведено исследование дифференциальных уравнений с голоморфными коэффициентами. Целью работы являлось нахождение коэффициентов асимптотик решений уравнения H(r, - (1/k) r^(k+1) d/dr) u = 0 Рассматриваются следующие два случая: когда символ оператора $\Hat{H}$ не зависит от переменной $r$ и когда корни полинома $H(0,p)$ являются простыми. В обоих случаях были построены асимтотики решений. Также были получены результаты для интегрального уравнения равновесия (Dieckmann integral equation). Данное уравнение, возникающее в модели популяции стационарных сообществ, изучалось в одно-, дву- и трёх-мерном случаях. В качестве интегральных ядер (конкуренции и распространения) были выбраны гауссианы с различными радиусами. Был построен трёхмерный график зависимости первого момента (средней плотности) от данных радиусов. Проведены уточняющие исследования на различных срезах (диагоналях) графика. Также была рассмотрена модель конкуренции видов различных типов. Рассматриваемая задача приведена к системе интегральных уравнений. Проведена их регуляризация. |
| 2 |
1 января 2015 г.-31 декабря 2015 г. |
Развитие аналитических методов решения краевых и спектральных задач теории граничного управления |
| Результаты этапа: Получено обобщение результатов, описанных в монографии В.А. Ильина для разложения по равномерно ограниченной ортонормированной системе, на случай разложения по собственным функциям оператора Лапласа в N-мерной области G, для собственных значений \lambda_{k} и собственных функций u_{k}(x) которого билинейный ряд \Sum\limits_{k=1}^{\infty} u_{k}(x) u_{k}(y)/\lambda_{k}^{n} сходится при некотором сколь угодном большом номере n равномерно по совокупности точек (x,y), одна из которых принадлежит всей замкнутой области G, а другая—произвольной строго внутренней подобласти G. Если {u_{k}(x)}-- рассматриваемая система собственных функций, p –число из интервала 1=1 . Представлено в печать развернутое доказательство эквивалентности двух ранее использованных определений обобщенного решения смешанной задачи для волнового уравнения из класса L_p при p>=1. Исследован цикл задач граничного управления процессом, описываемым уравнением Клейна-Гордона-Фока с переменным коэффициентом и одной пространственной переменной, в случае, когда время управления равно критическому, а управление осуществляется условием Дирихле на одной или на обеих границах. Рассмотрены случаи, когда коэффициент является ограниченной измеримой функцией и когда коэффициент принадлежит лишь классу суммируемых с квадратом функций. Получены оценки корневых функций сильно сингулярного обыкновенного дифференциального оператора второго порядка на конечном интервале в нормах различных пространств Лебега, в том числе оценки «антиаприорного» типа. Было проведено исследование дифференциальных уравнений с голоморфными коэффициентами. Целью работы являлось нахождение коэффициентов асимптотик решений уравнения H(r, - (1/k) r^(k+1) d/dr) u = 0 Рассматриваются следующие два случая: когда символ оператора $\Hat{H}$ не зависит от переменной $r$ и когда корни полинома $H(0,p)$ являются простыми. В обоих случаях были построены асимтотики решений. Также были получены результаты для интегрального уравнения равновесия (Dieckmann integral equation). Данное уравнение, возникающее в модели популяции стационарных сообществ, изучалось в одно-, дву- и трёх-мерном случаях. В качестве интегральных ядер (конкуренции и распространения) были выбраны гауссианы с различными радиусами. Был построен трёхмерный график зависимости первого момента (средней плотности) от данных радиусов. Проведены уточняющие исследования на различных срезах (диагоналях) графика. Также была рассмотрена модель конкуренции видов различных типов. Рассматриваемая задача приведена к системе интегральных уравнений. Проведена их регуляризация. Продолжено исследование одной нелокальной несамосопряженная задача для дифференциального уравнения второго порядка с инволюцией. Получены условия, обеспечивающие базисность в L2 и в Lp системы корневых функций этой задачи, состоящей из бесконечного числа собственных и беско-нечного числа присоединенных функций. Доказано отсутствие базисности обобщенной системы типа Костюченко в пространстве L2 на любом отрезке действительной оси. Предложен подход, позволя-ющий исследовать свойство безусловной базисности корневых функций оператора второго порядка с потенциалом-распределением. Сформулированы условия на младшие коэффициенты-распределения обыкновенного дифференциального оператора высоких порядков, допускающие использование ин-тегральных представлений решений уравнений со спектральным параметром. |
