ИСТИНА

Изучение вопросов устойчивости решений для некоторых классов нелинейных дифференциальных уравнений с погрешностью в правой частью и в граничных условиях при дополнительной информации об этих решениях, вычисление поперечников функциональных классов, геометрическая теория приближений, изучение спектральных свойств некоторых дифференциальных операторов.

В 2014 г. получены новые теоремы вложения весовых классов Соболева в весовое пространство Лебега на области, удовлетворяющей условию Джона, с весами, являющимися функцией расстояния до $h$-множества, содержащегося в границе области. Для весов, определяемых функциями специального вида, зависящих от расстояния до $h$-множества, получены порядковые оценки поперечников весовых классов Соболева. Получена оценка сверху приближения функций весового класса Соболева $W^1_{\infty,\varphi}$ ломаными с фиксированным и нефиксированным набором узлов. Установлено, что ограниченно слабо компактное m-связное множество в сепарабельном банаховом пространстве монотонно линейно связно. Получена асимптотика спектра оператора Штурма-Лиувилля на полуоси для произвольного быстрорастущего потенциала. Показано, что пересечение произвольного строгого солнца $M$ в пространстве $C(Q)$ с произвольным замкнутым промежутком $P \subset C(Q)$ (в частности, с замкнутым шаром и замкнутой гиперполосой) является строгим протосолнцем при естественном условии, что $M \cap \operatorname{int} P\ne \emptyset$. Для многих классических невыпуклых объектов в пространстве непрерывных функций установлено существование непрерывной $\epsilon$-выборки. Получены классификаторы функционального состояния человека и разработан новый метод определения функционального состояния человека на основании данных ЭЭГ (электроэнцефалограммы), исследованы взаимосвязи между новым методом и классическими подходами, основанными на анализе Фурье и показана эффективность ``индивидуального обучения'' в исследуемых задачах психофизиологии. Ряд полученных в рамках темы результатов соответствует Приоритетным направлениям развития науки, технологий и техники в Российской Федерации (нано-, био-, информационные, когнитивные технологии). В 2015 г. установлено, что если изображение отличается от функции, заданной на n-мерном линейном подпространстве из $L$, и удовлетворяет неравенству Никольского на дополнении пространства до множества, мера которого не превосходит $cn^{-1},$ то жадный алгоритм выбора множества сходится экспоненциально; также получена оценка скорости сходимости жадного алгоритма выбора подмножества в случае, когда изображение на множестве большой меры близко в смысле равномерной нормы к функции из шара пространства $W^1_\infty$. Установлено, что аппроксимативно компактное $m$-связное подмножество в банаховом пространстве является $\delta$-солнцем. Показано, что в пространствах размерности не больше трех каждое строгое солнце $B$-стягиваемо и допускает непрерывную $\epsilon$-выборку для всех $\epsilon>0$. Найдены точные оценки минимального собственного значения на различных классах потенциалов в задаче Штурма-Лиувилля на полуоси с граничным условием в нуле. Удалось распространить неравенство Сёге на широкий класс метрик (в частности норм $L_p$ при $p\in [0,+\infty]$). Получены порядковые оценки энтропийных чисел оператора вложения весового класса Соболева на области, удовлетворяющей условию Джона. Определены условия на непрерывное многозначное (не обязательно выпуклозначное) отображение $F:X\times Y \rightarrow 2^Y,$ для которого существует непрерывное отображение $f: X\times Y\times (0,+\infty) \rightarrow Y $ такое, что отображение $f(x,\cdot,\epsilon)$ является мультипликативной (аддитивной) $\epsilon$-выборкой для множества $F(x,y)$. Опубликовано 19 работ, 5 работ сдано в печать. Защищена одна докторская диссертация и подготовлена к защите еще одна.