ИСТИНА

Проект направлен на исследование дифференциальных уравнений, описывающих процессы в нелинейных системах и неоднородных средах. В работе осуществляется дальнейшее проведение комплексного исследования проблемы хаоса в динамических системах, начатое в предыдущие годы. Изучены такие феномены хаотической динамики, как диффузионный хаос, хаотическая буферность, турбулентный хаос, хаос в резонансных системах, флуктуационный хаос, хаотические колебания, а также некоторые примыкающие вопросы. Все эти проблемы имеют как теоретическое, так прикладное значение и иллюстрируются на примерах конкретных математических моделей естествознания – радиофизики, экологии, биофизики, механики. При исследовании используются: асимптотические методы исследования аттракторов -- как классические (метод интегральных многообразий, метод нормальных форм, метод усреднения и т. д.), так и специальные, оригинальные, используемые в окрестности бесконечномерного вырождения (построение бесконечномерной замены переменных, приводящей исходную систему в окрестности приближенного тора к специальной нормальной форме); классические методы аппроксимации нелинейной функции кусочно-линейной, аналоги метода распространяющихся волн; групповые методы анализа нелинейных уравнений (как классические -- исследование групп симметрий и групп эквивалентности, так и оригинальные, связанные с анализом конуса касательных эквивалентностей).

Осуществлено исследование автоволновых процессов в системах диффузионно связанных обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздыванием. Изучены проблемы существования автоволн, их локализации, устойчивости и асимптотического поведения. Осуществлено исследование дискретных автоволновых процессов в системах дифференциально-разностых уравнений с запаздыванием. Изучены проблемы существования автоволн, их локализации, устойчивости и асимптотического поведения. Рассмотрены содержательные приложения к математическим моделям из экологии. Осуществлено исследование математических моделей процессов нейродинамике и процессов в нейронных системах. Изучены следующие вопросы: наличие феномена буферности, существование автоволновых решений, условия возникновения релаксационных колебаний. Проведено подробное исследование релаксационных колебаний в сингулярно возмущенных системах дифференциальных уравнений, в том числе и при наличии отклонения аргумента: доказано существование и найдена асимптотика релаксационных колебаний в уравнении Хатчинсона и его модификациях, в математических моделях отдельного нейрона и нейронной сети. В ряде случаев показано возникновение автоволн, феномена диффузионного хаоса (хаотических аттракторов сколь угодно большой размерности), феномена «взрывного поведения» решений («bursting behavior») и существование «неклассических релаксационных колебаний». Проведен асимптотический анализ многочастотных автоколебаний, которые возникают в кольцевых цепочках диффузионно связанных уравнений, а также явление буферности, имеющее место в таких цепочках. Для сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с одной быстрой и одной медленной переменными установлены условия существования неклассического релаксационного цикла, то есть цикла, у которого медленная компонента асимптотически близка к разрывной функции, а быстрая компонента является дельта-образной. Построена сингулярно возмущенная система являющаяся модификацией известной модели ФитцХью ? Нагумо функционирования отдельного нейрона. Для такой системы доказано существование и устойчивость неклассического релаксационного цикла, что соответствует наблюдаемым колебаниям мембранного потенциала реального нейрона. Рассмотрена математическая модель континуальной кольцевой цепочки однонаправленно связанных генераторов, представляющая собой нелинейную краевую задачу гиперболического типа. Исследован вопрос об аттракторах указанной краевой задачи. Установлена реализуемость в ней одной из двух возможностей: либо имеет место феномен буферности (неограниченного накапливания устойчивых периодических движений), либо имеются хаотические аттракторы сколь угодно высоких ляпуновских размерностей. Проведено исследование специального класса нелинейных систем дифференциальных уравнений – так называемых флаттерных систем, возникающих при галеркинских аппроксимациях некоторых краевых задач теории аэроупругости, а также в ряде радиофизических приложений. В предположении малости коэффициента затухания рассмотрены вопросы существования и устойчивости в этих системах параметрических колебаний, бифурцирующих из нулевого положения равновесия. Получены аналоги формулы распространяющихся волн для различных неоднородных сред с памятью содержащей как саму неизвестную функцию, так и её вторую производную, с коэффициентом, представленным как комбинацией экспонент, так и интегралом стилтьесовского типа. Осуществлена полная классификация уравнений эйконала для анизотропной среды. Получены формулы, описывающие иллюзию движущегося источника для анизотропной среды и для произвольной нелинейной среды. Разработан метод характеристик для систем дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными. Метод функций Римана перенесён на уравнения третьего порядка с постоянными коэффициентами.