| Результаты этапа: 1. В настоящее время наиболее популярная модель самоподдержания турбулентности в пристенных течениях предполагает генерацию пульсаций на крупномасштабных неоднородностях потока, проявляющихся в виде полосчатых структур. Считается, что крупномасштабные полосы в распределении продольной компоненты скорости возникают под действием квазипродольных вихрей, перемещающих частицы жидкости в поперечной к потоку плоскости, а вихри поддерживаются нелинейным взаимодействием пульсаций. Вопросу установления механизма генерации квазипродольных вихрей, замыкающего весь цикл самоподдержания турбулентности посвящено очень большое число теоретических и экспериментальных работ. Членами научного коллектива настоящего проекта в предыдущие годы был обнаружен механизм образования продольных вихрей (концентрированных в плоскости поперечного сечения и протяженных вдоль потока областей сосредоточения продольной компоненты завихренности), возникающих на фоне колебаний продольной скорости. Механизм подтвержден для ряда модельных течений, таких как пространственно локализованные, условно периодические по времени (периодические в сопутствующей системе координат) решения трехмерных уравнений Навье-Стокса в круглой трубе [Никитин Н.В., Пиманов В.О. Локализованные турбулентные структуры в круглой трубе. Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. Науки. Т. 157, кн. 3., С. 111–116, 2015; Никитин Н.В., Пиманов В.О. Численное исследование локализованных турбулентных структур в трубах. Изв. РАН, МЖГ, №5, с.64–75, 2015; Никитин Н.В., Пиманов В.О. О поддержании колебаний в локализованных турбулентных структурах в трубах. Изв. РАН, МЖГ, №1, с.68-76, 2018], а также для течений в виде трехмерных бегущих волн в круглой трубе и плоском канале [Пиманов В. О. О поддержании колебаний в трехмерных бегущих волнах в плоском течении Пуазейля. Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика, № 4, c.47–53, 2018]. В этих течениях стационарная продольная завихренность O_x ответственна за образование полосчатых структур, на фоне которых развиваются колебания. Обнаружено, что доминирующий источник порождения O_x описывается слагаемыми <o_x*du/dx>-<u*do_x/dx> в правой части соответствующего уравнения. Здесь u и o_x - пульсационные составляющие продольной скорости и продольной завихренности, а угловыми скобками обозначено осреднение. Таким образом, колебания продольных компонент скорости и завихренности оказываются согласованными по фазе так, что приведенные выражения оказываются положительными в области O_x>0 и отрицательными при O_x<0. В работе [Никитин Н. В., Пиманов В. О. О поддержании колебаний в локализованных турбулентных структурах в трубах // МЖГ, 2018, 1, 68–76] дано объяснение причины возникновения такого согласования фаз. Нами также показано, что стационарные продольные вихри, отвечающие турбулентным вторичным течениям в трубах прямоугольного сечения, образуются тем же механизмом (работа принята к опубликованию в ДАН). Все это указывает на то, что обнаруженный механизм может быть универсальным механизмом порождения концентрированных продольных вихрей на фоне колебаний продольной скорости, что встречается во множестве течений. Основными задачами отчетного года было исследование степени вовлеченности описанного механизма в процесс образования квазипродольных пристенных вихрей в развитых турбулентных течениях и исследования, направленные на построение общей теории возникновения вторичных течений Прандтля 2-ого рода в прямых трубах некруглого сечения. Основная трудность выявления механизма образования квазипродольных вихрей в развитых турбулентных потоках связана с тем, что в отличие от рассмотренных модельных течений квазипродольные вихри в турбулентном потоке не являются стационарными образованиями. Они спорадически появляются и пропадают в разных частях потока, преимущественно в области буферного слоя в профиле средней скорости. Таким образом, для оценки степени вовлеченности описанного выше механизма в образование квазипродольных вихрей требуется разработка специальных подходов к статистической обработке результатов численного моделирования турбулентных течений. Такие подходы должны включать, в частности, методы динамической идентификации квазипродольных вихрей в турбулентном потоке, использование нестандартных приемов осреднения в окрестности выделенных структур. Разработка таких подходов проводилась в отчетном году и будет завершена в следующем. К настоящему моменту проведен условный корреляционный анализ пульсаций продольных компонент скорости и завихренности в зависимости от знака продольной компоненты завихренности. Напомним, что согласно предлагаемому механизму образования концентрированных продольных вихрей корреляции <o_x*du/dx> и -<u*do_x/dx> должны быть положительными в областях O_x>0 и отрицательными в областях O_x<0. В рассмотренных ранее модельных течениях O_x представляет стационарную (среднюю) составляющую продольной компоненты завихренности. В развитом турбулентном потоке среднее значение O_x равно нулю и области O_x>0, O_x<0 должны быть заменены на области существования квазипродольных вихрей разного знака, методы выделения которых находятся в данный момент в стадии разработки. В качестве первого приближения упомянутые корреляции рассчитаны для областей o_x>0 и o_x<0, которые заведомо содержат внутри себя области существования квазипродольных вихрей соответствующих знаков. Результаты, полученные для нескольких реалистичных турбулентных течений, рассчитанных численно методом DNS в круглой трубе и в плоском канале убедительно подтверждают возможную причастность обнаруженного механизма образования концентрированных вихрей к возникновению квазипродольных вихрей в развитых турбулентных течениях. Корреляции <o_x*du/dx> и -<u*do_x/dx> имеют предсказанный знак в областях o_x>0 и o_x<0 и максимальны в районе буферного слоя, где, как известно, интенсивность квазипродольных вихрей максимальна. В этих местах соответствующие нормированные коэффициенты корреляции достигают значений +/- 0.3, что не оставляет сомнений в согласованности пульсаций продольных компонент скорости и завихренности, что согласуется с предложенным механизмом образования продольных вихрей.
2. На основе анализа результатов прямого численного моделирования турбулентного течения в трубе квадратного сечения выявлен механизм возникновения вторичных течений Прандтля 2-ого рода. Вторичные течения связаны с присутствием в потоке концентрированных продольных вихрей, которые образуются в результате нелинейного взаимодействия турбулентных пульсаций, выражающегося источниковым членом S в уравнении для средней продольной завихренности O_x, для которого справедливо приближение S≈<o_x*du/dx>-<u*do_x/dx>. Здесь u и o_x - пульсационные составляющие продольной скорости и продольной завихренности, а угловыми скобками обозначено осреднение по времени и продольной координате. Легко показать, что второе слагаемое в этом выражении в точности совпадает с первым. Турбулентные пульсации в окрестности продольных вихрей организуются таким образом, что пульсации o_x оказываются согласованными по фазе с пульсациями du/dx. Физически это соответствует возникновению пульсаций продольной завихренности при продольной деформации жидкой частицы, обладающей продольной завихренностью O_x. Таким образом, нужная согласованность фаз колебаний o_x и du/dx возникает именно в областях концентрации O_x. Подтверждением действенности вскрытого механизма служит то, что концентрация источникового члена в уравнении для средней продольной завихренности наблюдается в области критического слоя, где местная скорость среднего течения совпадает со скоростью распространения возмущений, что является необходимым условием сохранения нужного согласования фаз колебаний o_x и du/dx. Работа принята к публикации в ДАН.
3. При исследовании устойчивости систем с хаотическим поведением классические определения утрачивают свое значение. Им на смену приходит понятие орбитальной устойчивости, характеризуемое ляпуновскими показателями и соответствующими им ляпуновскими векторами. Ляпуновские показатели и векторы характеризуют устойчивость хаотических аттракторов аналогично тому, как собственные значения и векторы характеризуют устойчивость стационарных решений. Описание турбулентных течений жидкости с позиций поведения хаотических динамических систем на сегодняшний день не является общепринятым. Наибольшее развитие это направление исследований получило в приложении к задачам турбулентной конвекции Рэлея–Бенара. В рамках настоящего проекта проведено численное исследование эволюции возмущений в развитых турбулентных течениях в плоском канале при числах Рейнольдса до Re_τ=586. Трехмерные уравнения Навье-Стокса решаются конечноразностным методом [Nikitin N. Finite-difference method for incompressible Navier-Stokes equations in arbitrary orthogonal curvilinear coordinates. J. Comput. Phys., 217(2), 759-781, 2006]. Результаты расчетов турбулентных течений с высокой точностью совпадают с опубликованными в Интернете результатами работы [Moser, R. D., Kim, J. & Mansour, N.N. Direct numerical simulation of turbulent channel flow up to Re_τ=590, Physics of Fluids, 11 (4), 943-945, 1999]. Установившиеся турбулентные течения используются затем в качестве основных течений для изучения процесса развития на их фоне возмущений. В согласии с результатами предыдущих исследований руководителя проекта [Nikitin N. Spatial periodicity of spatially evolving turbulent flow caused by inflow boundary condition. Phys. Fluids, 19(9), 091703-4, 2007; Nikitin N. On the rate of spatial predictability in near-wall turbulence. J. Fluid Mech. 614, 495-507, 2008; Никитин Н.В. О скорости роста возмущений в пристенных турбулентных течениях. Изв. РАН, МЖГ, 5, 27-32, 2009], показано, что амплитуда малых возмущений растет в среднем экспоненциально по времени, что отвечает выходу решения на старший ляпуновский вектор (СЛВ). Однако, вопреки ранее сделанным выводам о постоянстве старшего ляпуновского показателя λ_1^+≈0.021 при изменении числа Рейнольдса, зафиксировано некоторое увеличение λ_1^+ при наибольших Re_τ (до λ_1^+≈0.026 при Re_τ=586). Рост возмущений, соответствующих СЛВ, можно связать с наличием крупномасштабных полосчатых структур, присутствующих в пристенном слое турбулентного течения. Это подтверждается тем, что наибольший уровень возмущений достигается на расстоянии y^+=10-20 от стенки, т.е. в области буферного слоя основного течения, где наблюдается наибольший уровень пульсаций в основном течении и, в частности, наиболее выражены полосчатые структуры. Однако, генерация возмущений СЛВ не связана непосредственно с неустойчивостью полос, а диктуется нестационарностью и неоднородностью коротковолновой составляющей основного течения. Всплески активности возмущений происходят спорадически в разных частях потока, где локально возникают подходящие условия для их роста. Пятно возмущения, появившись в одном месте, сносится потоком, разрастаясь в размере и интенсивности, увеличивая интегральную амплитуду возмущений. Следующий за ним всплеск возникает уже на повышенном амплитудном фоне, таким образом обеспечивается общий экспоненциальный рост. Проведен анализ и определен вклад каждого из слагаемых, входящих в выражение для производства кинетической энергии возмущений. Наибольший вклад предсказуемо вносят слагаемые, отражающие генерацию возмущений на поперечном градиенте продольной скорости ∂u/∂y, а также в слоях сдвига в боковом направлении. Однако, остальные слагаемые, отражающие эффект продольной неоднородности и наличие трансверсального движения в основном течении, также вносят существенный вклад в генерацию возмущений. Пренебрежение этими эффектами ведет к существенной недооценке скорости роста возмущений. Основываясь на форме двумерных спектров мощности в плоскости волновых чисел k_x,k_z, определены и вычислены характерные линейные масштабы, отвечающие пульсациям различных компонент скорости и завихренности в поле возмущений и в поле основного течения. В целом, полученные результаты указывают на то, что структуры СЛВ оказываются вдвое уже и короче характерных структур основного течения. Проведенные в работе исследования не дают ответа на вопрос о существовании и количестве других положительных показателей Ляпунова в турбулентном течении в плоском канале. Исследование турбулентных течений с позиций динамики хаотических систем не является устоявшимся подходом. Связь растущих ляпуновских векторов с наблюдаемыми структурами турбулентных потоков еще предстоит установить. В этой связи уместно упомянуть работу [Egolf, D. A., Melnikov, I. V., Pesch, W. & Ecke, R.E. 2000 Mechanisms of extensive spatiotemporal chaos in Rayleigh–Bénard convection. Nature, London, 733–736], в которой рассчитаны ляпуновские показатели и изучены свойства ляпуновских векторов в конвекции Рэлея–Бенара. Обнаружено, что ляпуновские векторы, отвечающие положительным показателям, крайне локализованы как в пространстве, так и во времени. Наоборот, ляпуновские векторы, соответствующие отрицательным показателям, более равномерно распределены в пространстве. Результаты данной работы, касающиеся пространственно-временной локализации структур СЛВ, согласуются с выводами этой работы. Локализованные в пространстве и времени структуры наблюдаются также и в пристенных турбулентных течениях. Отметим в этой связи так называемые турбулентно-турбулентные пятна, недавно обнаруженные экспериментально в пристенной области развитого пограничного слоя на плоской пластине [Wu, X., Moin, P., Wallace, J. M., Skarda, J., Lozano-Duran A. & Hickey J.-P. 2017 Transitional-turbulent spots and turbulent-turbulent spots in boundary layers. PNAS (27), E5292–E5299]. Интересно, что пристенные полосы оказываются неактивными по отношению к этим структурам. В этом отношении возмущения СЛВ, рассмотренные в настоящей работе, аналогичны турбулентно-турбулентным пятнам. Результаты опубликованы в JFM: [Nikitin N. Characteristics of the leading Lyapunov vector in a turbulent channel flow. Journal of Fluid Mechanics, 849, 942-967, 2018]. В дополнение к изученным случаям течений Пуазейля в круглой трубе и плоском канале рассмотрено турбулентное течение Куэтта. В недавней статье [Inubushi, M., Takehiro, S-i, Yamada, M. 2015 Regeneration cycle and the covariant Lyapunov vectors in a minimal wall turbulence // Phys. Rev. E, 92, 023022] вычислены показатели Ляпунова для турбулентного течения Куэтта при предельно низком числе Рейнольдса в минимально возможной расчетной области. Значение старшего показателя оказалось в три раза меньше, чем универсальные значения, определенные ранее в работах руководителя проекта [Nikitin N. On the rate of spatial predictability in near-wall turbulence. J. Fluid Mech. 614, 495-507, 2008; Никитин Н.В. О скорости роста возмущений в пристенных турбулентных течениях. Изв. РАН, МЖГ, 5, 27-32, 2009]. Авторы предположили, что причиной такого расхождения может быть предельно низкое число Рейнольдса. Это, однако, противоречит нашим выводам об универсальности значений старшего показателя Ляпунова. Для установления истины в этом вопросе проведены соответствующие вычисления. Определены значения СЛП в турбулентном течении Куэтта. Показано, что в согласии с результатами предыдущих наших исследований скорость экспоненциального роста возмущений, будучи выраженной в вязких единицах близка к значениям, полученным ранее для течений Пуазейля в круглой трубе и плоском канале. Заметное отличие полученного в работе японских авторов значения старшего показателя Ляпунова объясняется малостью размеров расчетной области. Результаты выполненной работы подтверждают предположение о независимости старшего показателя Ляпунова от числа Рейнольдса и расширяют область применимости гипотезы об универсальности этой характеристики в пристенных турбулентных течениях. Результаты опубликованы в МЖГ: [Никитин Н.В., Пивоваров Д.Е. О скорости роста возмущений в турбулентном течении Куэтта. Изв. РАН, МЖГ, №6, с.3-8, 2018].
4. В ходе работ, направленных на развитие методов расчета турбулентных течений на многопроцессорных вычислительных системах, на предыдущем этапе работ был предложен алгоритм расчета турбулентных течений, сочетающий осреднение характеристик течения по времени и по статистически независимым реализациям [B. Krasnopolsky // Comp. Phys. Comm. 229, 8-19, 2018]. Особенностью данного алгоритма является повышение производительности за счет одновременного моделирования нескольких состояний течения и решение систем уравнений со многими правыми частями, то есть сокращение времени расчета при сохранении количества используемых вычислительных ресурсов. Схожая проблематика рассматривалась в [V. Makarashvili, E. Merzari, A. Obabko, A. Siegel, P. Fischer // Comp. Phys. Comm. 219, 236-245, 2017], где для схожего подхода с одновременным моделированием нескольких состояний рассмотрен вопрос распараллеливания вычисления за пределами сильной мастштабируемости приложения. Авторами предлагается проводить несколько никак не связанных между собой расчетов на разных вычислительных ресурсах, и выполнять осреднение результатов по окончании всех расчетов, то есть ускорение расчетов за счет кратного увеличения количества используемых вычислительных ресурсов. В ходе текущего этапа был сформулирован обобщенный расчетный алгоритм, позволяющий сочетать в рамках одного расчета моделирование нескольких отдельных запусков и моделирование нескольких состояний течения в рамках каждого запуска [B. Krasnopolsky // Jobachevskii Journal of Mathematics, 39(4), 533-542, 2018]. Опубликованные ранее расчетные алгоритмы, очевидно, являются двумя предельными случаями данного обобщенного алгоритма. Для обобщенного алгоритма сформулирована аналитическая модель ожидаемого ускорения расчета. Показано, что ключевым параметром, отвечающим за целесообразность использования той или иной расчетной стратегии является показатель параллельной эффективности вычислительного приложения \epsilon. По результатам численных экспериментов продемонстрировано, что для значений в диапазоне линейной масштабируемости вычислительного приложения, \epsilon \approx 1, преимущественным оказывается проведение моделирования задачи в рамках единого расчета с несколькими состояниями течения. Для диапазона 1 > \epsilon > 0.8 преимущественным является сочетание расчета нескольких запусков и нескольких состояний в рамках каждого запуска. При использовании вычислительного кода за пределами сильной масштабируемости (\epsilon < 0.8) преимущественным является использование множества независимых расчетов. |
