Статья опубликована в журнале из списка RSCI Web of Science
Статья опубликована в журнале из перечня ВАК
Статья опубликована в журнале из списка Web of Science и/или Scopus
Дата последнего поиска статьи во внешних источниках: 11 ноября 2019 г.
Аннотация:Параллелоэдр - это выпуклый многогранник в аффинном пространстве, сдвиги которого на векторы некоторой дискретной решетки L заполняют все пространство без зазоров и пересечений по внутренним точкам. Частным случаем параллелоэдра является ячейка Дирихле-Вороного решетки относительно метрики, порожденной положительной квадратичной формой. Более 100 лет назад Г.Вороной предположил, что всякий параллелоэдр есть ячейка Дирихле-Вороного своей решетки относительно некоторой метрики.
А.Ордин ввел понятие неприводимой грани и k-неприводимого параллелоэдра, которого все грани коразмерности k неприводимы. Разбиение на параллелоэдры называется k-неприводимым, если его параллелоэдры k-неприводимы. Он доказал гипотезу Вороного для 4-неприводимых параллелоэдров.
С каждой фасетой F параллелоэдра связано два вектора: фасетный вектор l_F решетки L разбиения T на параллелоэдры и нормальный вектор p_F фасеты F. Фасетные векторы целочисленно порождают решетку L. Одна из форм знаменитой гипотезы Вороного утверждает, что существуют такие параметры s(F), что нормированные (канонические) нормальные векторы s(F)p_F целочисленно порождают решетку. В этой статье определяются однозначно нормируемые грани G как грани, определяющие однозначно с точностью до общего множителя параметры s(F) всех фасет разбиения T, содержащих грань G. Разбиение, все грани которого коразмерности k однозначно нормируемы, k-неприводимо.
Доказывается следующий аналог теоремы А.Ордина: каноническая нормировка фасет разбиения T существует, если для некоторого положительного целого k все его грани коразмерностей k и k+1 однозначно нормируемы. Случаи k=1 и k=3 соответствуют 2- и 3-неприводимым разбиениям в смысле А.Ордина.