|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ФНКЦ РР |
||
О тейлоровских коэффициентах аналитической функции, связанной с эйлеровым числомстатья
Статья опубликована в журнале из списка RSCI Web of Science
Статья опубликована в журнале из перечня ВАК- Авторы: Костин А.Б., Шерстюков В.Б.
- Журнал: Уфимский математический журнал
- Том: 14
- Номер: 3
- Год издания: 2022
- Первая страница: 74
- Последняя страница: 89
- DOI: 10.13108/2022-14-3-70
- Аннотация: Рассматривается классическая конструкция «второго замечательного предела». Ставится вопрос об асимптотически точном описании характера такой аппроксимации числа 𝑒. В связи с этим требуется информация о поведении коэффициентов степенного разложения функции 𝑓(𝑥) = 𝑒^{−1}(1 + 𝑥)^{1/𝑥}, сходящегося в интервале −1 < 𝑥 < 1. Выведено рекуррентное правило, регулирующее формирование означенных коэффициентов. Показано, что коэффициенты образуют знакочередующуюсяпоследовательность рациональных чисел (−1)^𝑛 𝑎_𝑛, где 𝑛 ∈ N ∪ {0} и 𝑎_0 = 1, модули которых строго убывают. На основе формулы Фаа ди Бруно для производных сложной функции предложен комбинаторный способ вычисления чисел 𝑎_𝑛 при 𝑛 ∈ N. Исходная функция 𝑓(𝑥) есть сужение на вещественный луч 𝑥 > −1 функции 𝑓(𝑧), имеющейте же тейлоровские коэффициенты и аналитической в комплексной плоскости C с разрезом (−∞, −1]. Методами комплексного анализа получено интегральное представление для 𝑎_𝑛 при любом значении параметра 𝑛 ∈ N. Доказано, что 𝑎_𝑛 → 1/𝑒 при 𝑛 → ∞, и найден порядок стремления к нулю разности 𝑎_𝑛 − 1/𝑒. Затронут вопрос о выбореконтура в интегральной формуле Коши для вычисления тейлоровских коэффициентов (−1)^𝑛 𝑎_𝑛 функции 𝑓(𝑧). Посчитаны точные значения возникающих по ходу дела специальных несобственных интегралов. Результаты проведенного исследования позволяют дать серию общих двусторонних оценок уклонения 𝑒−(1+𝑥)^{1/𝑥}, согласованных с асимптотикой 𝑓(𝑥) при 𝑥 → 0. Обсуждаются возможности применения полученных утверждений.
- Добавил в систему: Шерстюков Владимир Борисович