Аннотация:Подмножество $M$ линейного нормированного пространства~$X$
называется $R$-слабо вы\-пук\-лым ($R>0$ фиксировано), если
пересечение $(D_R(x,y)\setminus \{x,y\}) \cap M$ непусто при любых
$x,y\in M$, $ 0 < \|x - y\| < 2R$. Здесь $D_R(x,y)$ есть
пересечение всех шаров радиуса~$R$, содержащих $x,y$. В~работе
исследуется связность $R$-слабо выпуклых множеств в пространствах
типа~$C(Q)$. Устанавливается, что $R$-слабо выпуклое множество~$M$
в пространстве~$C(Q)$ локально $\mcc$-связно (локально связно по
Менгеру) и показывается, что каждая компонента связности
ограниченно компактного $R$-слабо выпуклого подмножества~$M$
пространства $C(Q)$ монотонно линейно связна и является солнцем
в~$C(Q)$. Показано, что ограниченно компактное подмножество~$M$
пространства~$C(Q)$ является $R$-слабо выпуклым множеством при
некотором $R>0$ если и только если $M$~есть дизъюнктное
объединение монотонно линейно связных солнц в пространстве~$C(Q)$,
причем хаусдорфово расстояние между любыми компонентами связности
множества~$M$ не менее $2R$.