Солнечность аппроксимативно компактных монотонно линейно связных множеств

Алимов, А.Р.

Автор: Алимов А.Р.
Сборник: Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы Международной конференции Воронежская зимняя математическая школа (27 января - 2 февраля 2015 г.)
Тезисы
Год издания: 2015
Место издания: Издательский дом ВГУ Воронеж
Первая страница: 5
Последняя страница: 6
Аннотация: Пусть $k(\tau)$, $0\le \tau\le 1$,~-- непрерывная кривая в~линейном нормированном пространстве~$X$. Кривая $k(\cdot)$ называется \textit{монотонной}, если $f(k(\tau))$ является монотонной функцией по~$\tau$ для любого $f\in \operatorname{ext} S^*$ (здесь и далее $\operatorname{ext} S^*$~-- множество экстремальных точек сопряженной сферы~$S^*$). Замкнутое подмножество $M\subset X$ называется \textit{монотонно линейно связным}, если любые две точки из~$M$ можно соединить непрерывной монотонной кривой (дугой) $k(\cdot)\subset M$. Пересечение $\operatorname{m} (M)$ всех замкнутых шаров, со\-дер\-жа\-щих ограниченное множество~$M$ называется {\it оболочкой Банаха--\allowbreak Мазура}. Подмножество $M\subset X$ называется $\operatorname{m}$-{\it связным\/} (\textit{связным по Менгеру}), если $ \operatorname{m}(\{x,y\})\cap M\ne \{x,y\}$. Монотонно линейно связное множество необходимо $\operatorname{m}$-связно. Напомним, что компакт $Y$ называется \textit{клеточноподобным} (имеющим шейп точки, $R_\delta$-множеством), если существует абсолютный окрестностный ретракт $Z$ и вложение $i:Y\to Z$ такое, что образ $i(Y)$ стягиваем в любой своей окрестности $U\subset Z$. \smallskip Множество $\varnothing\ne M\subset X$ называется солнцем, если для любого $x\notin M$ найдется ближайшая точка~$y$ из~$M$ для~$x$, такая, что $y$ является ближайшей точкой из~$M$ для всех точек луча $\{(1-\lambda) y + \lambda x\mid \lambda >0\}$. Множество $\varnothing\ne M\subset X$ называется $\delta$-\textit{солнцем}, если для любой точки $x\notin M$ найдется последовательность $z_n\to x$ такая, что $ \lim_{n\to \infty} \frac {\rho(z_n,M)-\rho(x,M)}{\|z_n-x\|}\to \nobreak 1 $ (здесь $\rho(\cdot,M)$~-- функция расстояния до множества~$M$). Всякое солнце является $\delta$-солнцем. В~банаховом пространстве класс $\delta$-солнц совпадает с классом почти выпуклых множеств (т.е.\ таких множеств, что для любого непересекающегося с~$M$ замкнутого шара~$B(x,r)$ найдется замкнутый шар~$B(y,R)\supset B(x,r)$ сколь угодно большого радиуса~$R$, также не пересекающийся с~$M$). Множество $M\subset X$ называется \textit{аппроксимативно компактным}, если каждая точка $x\in X$ является точкой аппроксимативной компактности, т.е.\ если из любой последовательности $(y_n)_{n\in \mathbb N} \subset M$, удовлетворяющей соотношению $\|x-y_n\| \to \rho(x,M)$ можно выбрать сходящуюся к некоторой точке из~$M$ подпоследовательность. \textbf{Теорема 1.} \textit{Пусть $X$~-- банахово пространство и пусть множество $M\subset X$ замкнуто, $\operatorname{m}$-связно и ограниченно компактно. Тогда $M$~-- монотонно линейно связно, пересечение $M$ с любым замкнутым шаром клеточноподобно {\rm (}и, в~частности, ацик\-лич\-но относительно любой непрерывной теории {\rm (}ко{\rm )}гомологий{\rm )} и является солнцем. Если $X$ конечномерно, то пересечение $M$ с любым замкнутым шаром стягиваемо и на него существует непрерывная $\varepsilon$-выборка для любого $\varepsilon>0$.} \textbf{Теорема 2.} \textit{Ограниченно слабо компактное $\operatorname{m}$-связное подмножество сепарабельного банахова пространства монотонно линейно связно. } \textbf{Теорема 3.} \textit{Аппроксимативно компактное $\operatorname{m}$-связное подмножество банахова пространства является $\delta$-солнцем.}
Добавил в систему: Алимов Алексей Ростиславович

	ИСТИНА	Войти в систему Регистрация
	ФНКЦ РР
	Главная Поиск Статистика О проекте Помощь

ИСТИНА

ФНКЦ РР

Солнечность аппроксимативно компактных монотонно линейно связных множествтезисы доклада

Прикрепленные файлы