|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ФНКЦ РР |
||
Обобщенные интегралы, 2-е изданиекнига
- Авторы: Лукашенко Т.П., Скворцов В.А., Солодов А.П.
- Год издания: 2011
- Место издания: Либроком Москва
- Объём: 280 страниц
- ISBN: 978-5-397-02028-2
- Монография
- Стереотипное переиздание
- Аннотация: Теория интеграла является одним из фундаментальных разделов анализа и служит основой применения методов анализа в теории вероятностей, математической физике и других смежных математических дисциплинах. При этом широкий круг задач обслуживается интегралом Лебега. Однако, как для некоторых внутренних задач теории функций действительного переменного, так и для отдельных задач комплексного анализа, гармонического анализа, теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей потребовалось ввести различные обобщения интеграла Лебега. Эта потребность связана с тем, что интеграл Лебега является так называемым абсолютным интегралом, в то время как некоторые из упомянутых задач требуют процесса интегрирования, при котором интегрируемость функции может быть обеспечена за счет интерференции положительных и отрицательных значений функции, как это имеет место, например, в случае несобственного интеграла Римана. Другими словами, для этих задач требуется интегрирование, являющееся непрерывным аналогом условной сходимости ряда или суммирования расходящегося ряда каким-нибудь регулярным методом. Наиболее известными из такого рода обобщений интеграла Лебега являются интегралы Данжуа и интеграл Перрона. Эти интегралы были введены прежде всего для решения одной из основных задач классического интегрального исчисления -- задачи восстановления первообразной по точной конечной производной (как известно, интеграл Лебега решает эту задачу лишь при условии суммируемости производной). Тем самым эти интегралы были призваны завершить согласование двух классических подходов к интегрированию, один из которых рассматривает интегрирование как обращение операции дифференцирования, а другой -- как конструктивный процесс вычисления, включающий суммирование и предельные переходы, как это имеет место, например, при вычислении площади криволинейной трапеции. Теория интегралов Данжуа--Перрона была изложена в хорошо известной специалистам монографии С.Сакса "Теория интеграла", вышедшей в русском переводе в 1949 году и отразившей состояние теории к моменту своей публикации. Во второй половине XX века теория интеграла бурно развивалась. При этом в исследованиях последних десятилетий все более заметное место стала занимать предложенная в начале 60-х годов конструкция Хенстока--Курцвейля, определяющая интеграл в терминах обобщенных сумм Римана. Конструкция оказалась перспективной как в отношении возможностей ее обобшения на случай абстрактных пространств, так и по части приложений. Несколько позже Мак-Шейн показал, что и интеграл Лебега в Rn может быть определен с помощью варианта этой конструкции. Тем самым подход Хенстока--Курцвейля приобрел и методичекий интерес, позволяя в университетских курсах математического анализа определять интеграл Римана и Лебега одновременно как два частных случая одной и той же конструкции. Теории интеграла Хенстока--Курцвейля посвящена обширная литература на английском языке, в том числе ряд монографий. Однако на русском языке эта тематика представлена лишь журнальными публикациями и небольшой книгой С.Ф. Лукомского "Интегральное исчисление", выпущенной в 2005 году издательством Саратовского университета и представляющей собой введение в теорию. Целью настоящей книги является систематическое изложение современной теории обобщенных интегралов, применяемых в действительном анализе. В ней представлены результаты новейших исследований в этой области, в том числе некоторые из результатов авторов книги. В первой части книги представлены основы римановской теории интегрирования. Свойства интегралов Римана, Мак-Шейна и Хенстока--Курцвейля изучаются параллельно. Рассматриваются стилтьесовские варианты этих интегралов. Первая часть заканчивается теоремами о предельном переходе под знаком интеграла. Вторая часть посвящена, в основном, изучению характеристических свойств неопределенных интегралов, на основании которых можно получить различные дескриптивные определения рассматриваемых интегралов. В частности, здесь доказывается, что интеграл Мак-Шейна на отрезке действительной прямой эквивалентен дескриптивно определенному интегралу Лебега, а интеграл Хенстока--Курцвейля эквивалентен интегралу Данжуа--Перрона. Третья часть книги является введением в интенсивно развивающуюся область исследований, касающихся интегрирования функций, принимающих значения в банаховых пространствах. Некоторые сведения по истории развития изложенной здесь теории обобщенных интегралов приведены в помещенных в конце книги комментариях к каждой главе. В книге использованы материалы спецкурсов, читаемых авторами на механико-математическом факультете МГУ, а третья часть книги существенно опирается на материалы кандидатской диссертации одного из соавторов, А.П.Солодова.
- Добавил в систему: Родионов Тимофей Викторович