Граничное усреднение краевых задач для уравнений в частных производных в областях с микронеоднородной структурой (например, с быстро осциллирующей границей, с концентрированными массами, расположенными вдоль границы, с микроперфорацией вдоль границы, с частой сменой типа граничных условий, в густых многоуровневых и каскадных соединениях и т.п.).

Колебание тонких пластин, стержней и соединений. Асимптотика решений и интегральные неравенства для таких областей.

Усреднение случайных моделей с микронеоднородной структурой. Теоремы усреднения и оценки скорости сходимости решений для соответствующих задач.

Поведение пористых сред (перфорированных материалов).

Уравнения переменного типа (Лаврентьева-Бицадзе, Трикоми и т.п.).

Поведение решений краевых задач в областях быстро меняющихся по времени.

Теория сингулярных мер и её использование в усреднении.

Резонаторы Гельмгольца в ограниченных и неограниченных областях.

Неравенства в математике и механике (неравенства типа Харди, типа Корна, типа Фридрихса, типа Пуанкаре и т.д.).

Уравнения пограничного слоя (система уравнений Прандтля) в областях с неоднородной микроструктурой для жидкостей с различной реологией. Заглубленные струи, пограничный слой Марангони, жидкость О.А.Ладыженской.

Поведение жидких кристаллов. Нематодинамика и система уравнений Эриксена-Лесли и Эрингена. Теоремы существования, и единственности, конечная скорость распространения возмущений, усреднение.

Поведение спектра дифференциальных операторов, зависящих от малого параметра. Спектральные задачи типа Стеклова. Вырождающийся спектр, оценки скорости сходимости собственных значений и собственных функций, при стремлении малого параметра к нулю.

Аттракторы эволюционных уравнений со случайными коэффициентами. Стохастическое (случайное) усреднение.

Повышенная суммируемость решений и оценки Боярского-Мейерса.

Ключевые слова: усреднение; математическая гидродинамика; математическая теория упругости; функциональные пространства; интегральные неравенства; качественная теория дифференциальных уравнений / homogenization; mathematical hydrodynamics; mathematical elasticity theory; functional spaces; integral inequalitiesб qualitative theorey of differential equations