ИСТИНА

Решается частный случай краевой задачи (задачи E по М.В. Келдышу) для нерегулярно вырождающегося эллиптического оператора в прямоугольнике [0, 1] × [0, b]: y2u′′ yy + u′′ xx + c(y)u′y − a(y)u = f(x, y), u(0, y) = u(1, y) = u(x, b) = 0, |u(x, 0)| < +∞, (1) где коэффициенты a(y), c(y) и правая часть f(x, y) являются аналитическими функциями комплексного переменного y в круге |y| <R,R > b, a(y), c(y) > 0, c(0) = 0. Построено формальное решение задачи в виде ряда +∞Xk=1 (ηk(y) + (y/b)rkϕk(y)) sin πkx, (2) где неизвестные функции ϕk(y) и ηk(y) являются аналитическими в той же области, что и коэффициенты уравнения, получены уравнения, которым удовлетворяют эти функции, сформулированы условия разрешимости полученных уравнений, для функций выведены явные формулы. Развивается метод спектрального выделения особенностей, переносящий метод регуляризации сингулярных возмущений на вырождающиеся эллиптические уравнения. Доказана теорема, в условиях которой построенный ряд равномерно сходится к классическому решению задачи.