ИСТИНА

Параболические функционально-дифференциальные уравнения (ФДУ) с преобразованием пространственных аргументов и запаздыванием по времени возникают при моделировании нелинейных оптических систем с обратной связью. Характер пространственно-временной динамики таких ФДУ во многом определяется механизмом обратной связи, осуществляющей взаимодействие как локальных (диффузия, дифракция, интерференция, нелинейность), так и нелокальных эффектов (запаздывание по времени и преобразование пространственных аргументов). В случае круговой симметрии ФДУ типичными решениями являются вращающиеся и стоячие волны, наблюдавшиеся в физическом эксперименте и при численном моделировании. В докладе обсуждается разрабатываемый авторами ([1]-[6]) численно-аналитический подход к предсказанию, описанию и исследованию устойчивости таких волн. Он основан на редукции задачи к не содержащему переменную времени ФДУ, применении теории бифуркации Андронова-Хопфа для построения решения в виде степенного ряда по малому параметру, исследовании устойчивости и особенностей взаимодействия волн на основе построения нормальной формы Фариа. Эффективность этого подхода зависит от выбора пространственной области, где ставится задача. Наиболее законченный результат получен в случае окружности, моделирующей бесконечно тонкое кольцо, когда условия возбуждения волн, их форму, направление вращения и устойчивость удается выразить через коэффициенты ФДУ и параметры нелокальных пространственно-временных преобразований без использования численных аппроксимаций. В случае кольца и круга построение нормальной формы связано с решением ряда краевых задач с зависящими от радиальной переменной коэффициентами и осуществляется с привлечением численных аппроксимаций. В этой связи особый интерес представляет случай тонкого кольца, когда на основе теории Хейла-Ругель и специального исследования спектральных асимптотик оператора Лапласа проводится построение так называемого предельного (при стремлении толщины кольца к нулю) ФДУ на окружности. К полученному предельному ФДУ затем применяется указанный выше метод, описывающий в аналитической форме условия возбуждения и специфику взаимодействия одномерных волн. Сравнение результатов прямого численного решения ФДУ в тонком кольце с аналитическими предсказаниями на основе предельного ФДУ показали их хорошее качественное и количественное соответствие для задач моделирования пространственной-временной динамики нелинейных оптических систем с нелокальной обратной связью. Романенко Т.Е. и Будзинский С.С. выполнили данную работу при поддержке РФФИ, проект №18-31-00236 мол_а. Список литературы 1. Разгулин А.В., Романенко Т.Е. Вращающиеся волны в параболическом функционально-дифференциальном уравнении с поворотом пространственного аргумента и запаздыванием // ЖВМиМФ. 2013.Т.53,№11. С.42–60. 2. Романенко Т.Е. Двумерные вращающиеся волны в функционально-дифференциальном уравнении диффузии с поворотом пространственных аргументов и запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 2014. Т.50, №2. С.260–263. 3. Budzinskiy S.S., Razgulin A.V. Rotating and standing waves in a diffractive nonlinear optical system with delayed feedback under O(2) Hopf bifurcation // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2017. Vol.49. P.17–29. 4. Budzinskiy S., Razgulin A. Normal form of O(2) Hopf bifurcation in a model of a nonlinear optical system with diffraction and delay // Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations. 2017. №50. P.1–12. 5. Budzinskiy S., Romanenko T. Rotating waves in a spatially nonlocal delayed feedback optical system with diffraction // Journal of Physics: Conference Series. 2018. Vol.1141. P.012106. 6. Budzinskiy S.S., Larichev A.V., Razgulin A.V. Reducing dimensionality to model 2D rotating and standing waves in a delayed nonlinear optical system with thin annulus aperture // Nonlinear Analysis: Real World Applications. 2018. Vol.44. P.559–572.