1. PI-теория. Проблема Шпехта: Доказана локальная представимость относительно свободных алгебр и конечная базируемость систем тождеств в ассоциативной алгебре над произвольным нетеровым ассоциативно-коммутативным кольцом от ограниченного множества переменных. Тем самым решены вопросы, поставленные акад. А.И.Мальцевым в 1968 г. Для бесконечного числа переменных приведен контрпример к проблеме Шпехта -- построена бесконечно базируемая система тождеств над произвольном полем положительной характеристики. Доказана алгоритмическая разрешимость проблемы следования тождеств в ассоциативной алгебре (проблема Мальцева-Тарского-Фон Неймана, поставлена в 1967 г.). Показана рациональность рядов Гильберта для относительно свободных ассоциативных алгебр (вопрос, поставленный К.Прочези в 1970 г.). И в то же время приведен пример представимой алгебры с трансцендентным рядом Гильберта.

Перспективы: Доказательство локальной конечной базируемости и локальной представимости алгебр Ли в которых выполняется система тождеств Капелли, а также над доказательством локальной представимости для класса колец, ассимптотически близких к ассоциативным, в которых радикал отщепляется от полупростой части, над полем нулевой характеристики. Предполагается работать над вопросом В.Н.Латышева о конечности базиса обструкций для T-идеалов. Контрпримеры к проблеме Шпехта привели к пониманию следа от кососимметричности и к концепции знака ``минус над полем характеристики 2 и над кольцами, дало путь к построению супертеории.

В свете рациональности рядов Гильберта относительно свободных алгебр и примеров трансцендентности этого ряда для представимых алгебр, интересует тематика, связанная с исследованием линейных базисов алгебр. Мономиальная алгебра представима если и только если множество ее ненулевых слов есть множество подслов конечного набора серий xk11⋯xkss при этом множество векторов k1,…,ks удовлетворяют системе экспоненциально диофантовых неравенств вида ∑IPI(k1,…,ks)λk1i1⋯λksis≠0. Поэтому над полем нулевой характеристики проблема изоморфизма двух мономиальных подалгебр алгебр матриц над кольцом многочленов алгоритмически неразрешима, а с другой стороны в силу совместного результата с учеником -- А.А.Чиликовым, описывающим множество решений системы экспоненциально диофантовых уравнений с основаниями экспонент в поле положительной характеристики, эта проблема оказывается алгоритмически разрешимой. Интересно исследовать базисы представимых алгебр. Целочисленность их размерностей Гельфанда Кириллова и ее совпадение с существенной высотой установлена автором. Представляется интересным также получение полиномиальных оценка в теореме Ширшова о высоте (субэкспоненциальные оценки получены совместно с М. И. Харитоновым).

2. Геометрическая теория колец. Совместно с И.А.Рипсом, А.Аткарской, Е.Плоткиным Развита теория колец с малыми сокращениями, имеется перспективы решения ряда проблем, создаются тексты. Показано, что бесконечное критическое кольцо должно быть тел

Ключевые слова: Проблема Шпехта; гипотеза Диксмье; математическое образование.; комбинаторная геометрия; самозаклинивающиеся структуры; малые сокращения; конечно порожденное тело; проблема Якобиана; PI-алгебра; универсальная алгебра; комбинаторная теория колец; афинная алгебраическая геометрия; полиномиальные автоморфизмы; квантизация; комбинаторика слов; символическая динамика / Specht problem; finitelly generated skew field; Jacobian Conjecture interlocking structures; PI-algebra; Dixmiere conjecture; small cancellation.